A. Fhaenkel: Der Begriff »defiiu't« und die Unabhängigiieit des Auswahlaxioms 253 



Der Begriff «definit« und die Unabhängigkeit 

 des Auswahlaxioms. 



Von Prof. Dr. A. Fraenkel 



in Marburg (Lalm). 



(Vorgelegt von Hru. Schmidt am 20. April 1922 [s. oben S. 111].) 



Uie Entscheidung der Frage nach der Unabhängigkeit des Auswahlprinzips 

 oder des seinen Kern darstellenden »Auswahlaxioms«^ von den übrigen 

 Prinzipien der Mathematik, d. h. namentlich von den Axiomen der Mengen- 

 lehre, ist bisher nicht gelungen. Diese Frage hat erliöhte Bedeutung ge- 

 wonnen, nachdem sich seit den Anregungen der HH. B. Levi, E. Schmidt und 

 namentlich E. Zermelo das Auswahlprinzip als ein in fast allen Teilen der 

 Mathematik unentbehiliche.s Beweishilfsmittel erwiesen hat. Gelegentlich einer 

 Untersuchung über die Grundlagen der Mengenlehre und über die Unabhängig- 

 keit eines ihr zugrunde zu legenden Axiomensystems im allgemeinen'^ ergab 

 sich mir auch speziell ein Unabhängigkeitsbeweis für das Auswahlaxiom. 

 Dessen Durcliführung erwies sich als eng verknüpft mit einer scharfen Klärung 

 des Begriffs "einer »definiten Eigenschaft« in dem für die Mengenlehre erforder- 

 lichen Umfang; eine solche Klärung war bisher nicht gelungen und mangelt aucli 

 in der bahnbrechenden Arbeit (Z. II) Zebmelos. Eine Vorbemerkung über diesen 

 grundlegenden Begriff ist daher für den nachstehenden Beweis erforderlich, wird 

 aber in den für diesen Zweck nötigen Grenzen gehalten. Der Unabhängig- 

 keitsbeweis werde im übrigen der Einfachheit halber für das ZEKJiELOsche 

 Axiomensystem (Z. 11) geführt, dessen Axiome I, II, IV — VII also unverändert 

 beibehalten werden, ebenso wie der »Bereich« S der »Dinge«, mit denen 

 es die Mengenlehre zu tun hat, und die Bezeichnungen a e b {a ist Element 

 der Menge b) und a ^^^ b (a ist Untermenge der Menge b). 



Um zu einer scharfen Formulierung des Aussonderungsaxioms III zu 

 gelangen, in -das in Z. II der unscharfe Begriff" »definit« eingeht, verstehe 

 man unter einer Funktion eine Vorschrift der folgenden Art: Aus einem 

 (»variabeln«) Ding x, das die Elemente einer Menge durchlaufen kann, und 



' Vgl. Zermelo, Math. Ann. 59 (1904), S. 516; 65 (1908), S. iio und S. 266. Die beiden 

 Arbeiten im 65. Band werden als Z. I und Z. II zitiert. 



^ Vgl. .Jahrcsb. d. D. IMath. -Verein. 30 (192 1), S. .97, ferner den Aufsatz »Zu den Grund- 

 lagen der CANTOR-ZERMELoschen Mengenlehre« in den Math. Ann. 86 (1922), S. 230 (F. I) und 

 dessen in Vorbereitung befindliche Fortsetzung (F. 11). 



