254 Sitzung der phys.-math. Klasse vom 6. Juli 1922. — Mitt. vom 20. April 



evtl. aus weiteren festgegebenen (»konstanten«) Dingen soll mittels einer vor- 

 geschriebenen (natürlich endlichmaligen, durch (p bezeichneten) Anwendung 

 der Axiome II — VI ein Ding (j)(x) gebildet werden. Beispiel: (p(x) = {{{^) , (o)}, 

 llx + {(o)}>. Ein allgemeiner Funktions- oder Zuordnungsbegriff oder über- 

 haupt ein neuer Grundbegriff ist ersichtlich hierin nicht enthalten. Das Axiom 

 der Aussonderung laute nunmehr: 



Axiom in. Sind eine Menge M und in bestimmter Reihenfolge zwei 

 Funktionen f und 4^ gegeben, so besitzt M eine Untermenge ü/g bzw. eine 

 Untermenge iJfg, , die alle und nur die Elemente x von M als Elemente enthält, 

 für die (p{x) Element von -^^ix) bzw. (p(x) nicht Element von 4^(x) ist. 



Die Rolle der »Variabein« in den durch die Axiome II und IV — VI 

 definierten Grundfunktionen ist ohne weiteres klar. Axiom III kann eine 

 Funktion in der Art definieren, daß 31 variabel ist oder auch eines der in 

 die Funktionen (p und 4/ eingehenden konstanten Dinge variabel gelassen wird. 

 Bei der durch Axiom VI definierten Auswahlfunktion von x = T handelt es 

 sich um irgendein Ding der verlangten Art, nicht wie bei den übrigen Grund- 

 funktionen um ein eindeutig bestimmtes. 



Es erheben sicli hierzu einige (in F. 11 zu erörternde) Fragen, namentlich 

 ob und wie der Prozeß der Untermengenbildung sich in der legitimen Mengen- 

 lehre nach diesem wohlbestimmten Schema vollzieht, d. h. namentlich ob dieses 

 umfassend genug ist, ferner ob die gegenseitige Verknüpfung von Funktions- 

 begriff und Axiom III ohne Zirkelschluß möglieh ist, weiter ob man sich bei 

 der Einführung des Funktionsbegriffs auf die Axiome II — V beschränken, 

 also Axiom VI fortlassen kann. Die letzte P'rage scheidet für die folgenden, 

 von Axiom VI ganz absehenden Betrachtungen aus, während die beiden ersten 

 nachstehend eine teilweise Beleuchtung von selbst erfahren. 



Um nunmehr die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms VI von den übrigen 

 (I — V und VII) nachzuweisen, zähle man, die übliche Bedeutung der Grund- 

 beziehung a i b beibehaltend, zum Bereich 33 folgende Dinge: erstens die 

 Nullmenge o und weitere abgezählt unendlich viele verschiedene Dinge a, , 

 o, , öj , öj , «3 , «3 , • • ■ , die sämtlich nicht als Mengen gelten ; zweitens die Menge 

 Z^ = io, {o}, {<o)}, • • • l (Z. II, S. 267); drittens die Menge A = -[{a, , 5,), 

 {öj, ö,}, («3, öj}, • • • I' ; viertens die Mengen, die aus Dingen von SS auf 

 Grund der Axiome II — V (eindeutig) hervorgehen — aber keine weiteren 

 Dinge^. Ein Ding (Menge) »existiert«, wenn es in 58 vorkommt. Die Axiome 

 I — V und VII sind hiernach erfüllt. Jedes Ding, außer den unter »erstens« 

 angeführten, ist eine Menge; jede Menge geht aus 'den unter »erstens« bis 

 »drittens« angeführten Dingen — den »Grunddingen« — durch endlich- 

 malige Anwendung der Axiome II — V (auf mindestens eine Art) hervor. 



' Für den Hinweis, daß es genügt, die Elemente von A aus je nur zwei Elementen 

 bestehen zu lassen, wie überhaupt für die Betonung des Begriffs der Symmetrie (s. u.) bin ich 

 Hrn. Zebmelo zu besonderem Dank verpflichtet. 



^ Vgl. das »Beschränktheitsaxiom« in F. I, S. 234. und zu Ende von § i meines Aufsatzes 

 in der Math. Ztschr. 13 (1922), S. 163. 



