A. Fraenkel: Der Begriff ."definit" und die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms 255 



Das Auswahlaxiom VI wird als unabhängig erwiesen sein, wenn folgendes 

 gezeigt ist: 



Hauptsatz: Ist M eine Menge, so gibt es zu M mindestens eine fast 

 alle Elemente von A enthaltende Untermenge Aj^j =(= A : A^,! = |J„ , A„ ,•••}, 

 wo A„^= {a„^, ä„^), von folgender Art: Ist o,,^. e ^„^. e J.^^ (d. h. ist a^^e^^Aj^), 

 so geht M in sich selbst über, falls a„^ und ö,,^ miteinander vertauscht 

 werden. 



Ist dies bewiesen, so kann es z. B. zur Menge A selbst keine Auswahl 

 im Sinne von Axiom VI geben, weil jede Auswahlmenge sieh ersichtlich 

 ändert, sobald irgendein a^. mit % vertauscht wird. 



Im folgenden Rollen die Mengen A^=^ {ük, ä^.) als Zellen, % und äy. als 

 konjugierte Zellelemente bezeichnet werden; jede fast alle Elemente von A 

 enthaltende Untermenge von A heiße eine Hauptmenge, so daß der Durch- 

 schnitt endlich vieler Hauptmengen eine Hauptmenge darstellt; eine Menge, 

 die aus einer beliebigen Menge M durch Vertauschung der Elemente einer 

 Zelle A^ hervorgeht, heiße konjugiert zu M in bezug auf ^^ und werde mit 



M bezeichnet; darf hierbei A/^ jede beliebige Zelle einer bestimmten Haupt- 



menge B sein, so werde M geschrieben. Eine zu sich selbst konjugierte 

 Menge wird symmetrisch (in bezug auf A^) genannt. Der Hauptsatz be- 

 sagt hiernach, daß zu jeder Menge M eine Hauptmenge existiert, in bezug 

 auf deren sämtliche Zellen M symmetrisch ist. Für die Grunddinge ist dies 

 offenbar der Fall. 



Der Beweis des Hauptsatzes läßt sich auf Grund der folgenden Sätze 

 I — 5 erbringen. Um die Beweise für diese dem Wesen nach bloßzulegen, 

 ohne weitläufig zu werden und gleiche Grundgedanken zu wiederholen, wird 

 es genügen, die (einfacheren, aber alle wesentlichen Gedanken enthaltenden) 

 Beweise der Sätze 2 und 4 auszuführen. Einen etwas besonderen Platz nimmt 

 nur der — zunächst vielleicht als evident erscheinende — Satz i ein. 



Satz I. Ist if eine Menge, so existiert auch die zu M in bezug auf 



k 



eine beliebige Zelle Aj, konjugierte Menge M . 



Satz 2. Geht aus gegebenen Dingen, deren jedes in bezug auf die 

 Zellen je einer Hauptmenge symmetrisch ist, (z. B. also aus Grunddingen), 

 durch bloße A^erwendung der Axiome II, FV, V eine Menge hervor, so ist 

 diese symmeti-isch in bezug auf die Zellen einer Hauptmenge. 



Beweis. Das Ding M sei symmetrisch in bezug auf die Zellen der Haupt- 

 menge Am, N in bezug auf diejenigen der Hauptmenge A;^. Dann ist zu- 

 nächst {M) symmetrisch in bezug auf die Zellen von Aj^j, {M , N\ symmetrisch 

 in bezug auf diejenigen der Hauptmenge [Am, Ay\, des Durchschnitts beider 



Mengen. Zweitens bedeute A^ eine beliebige Zelle von A^, so daß M = 31, 

 und es sei M^ 4= M; nach Satz i existiert die zu 31^ in bezug auf >4^. konjugierte 



i k k 



Menge 31^^31 = 31, es ist also il/„ sll3I; daher ist U3I symmetrisch in bezug 

 auf die Zellen von J.^^. Ist endlich ixeme3I und wieder A,,eAjn, so ist 



fj. em e31 = 31, d. h. aus ijls<B3I folgt Jie<B3I; auch <B3I ist also symmetrisch 



