256 Sitzung der phys.-math. Klasse vom 6. Juli 1922. — Mitt. vom 20. April 



in beziig auf die Zellen von Aj^f. Da die in Satz 2 betrachtete Menge durch 

 endlichinalige Wiederholung der soeben verwandten Grundfunktionen . aus 

 Dingen hervorgeht, deren jedes in bezug auf die Zellen einer Hauptmenge 

 symmetrisch ist, ist Satz 2 bewiesen. 



Satz 3. Unter den Voraussetzungen des .Satzes 2 werde eines der ge- 

 gebenen Dinge variabel gelassen, und mit x bezeichnet, so daß statt einer 

 Menge eine Funktion (p{x) entsteht. Dann gibt es zu (p eine Hauptmenge, 

 in bezug auf deren sämtliche Zellen Aj^ für jedes Ding x (p{x) konjugiert ist 

 zu ^{x). 



Satz 4. Sind (p und \|/ gegebene Funktionen von der in Satz 3 be- 

 zeichneten Art und ist M eine in bezug auf die Zellen einer Hauptmenge sym- 

 metrische Menge, so ist die nach Axiom III durch (ps-^ (bzw. <p nicht £-4') 

 bestimmte Untermenge ilfg (bzw. M^) 4= ^ symmetrisch in bezug auf die 

 Zellen einer Hauptmenge. 



Beweis. Aj,^ sei eine Hauptmenge, für die M ^ M \ -^^ und A^ seien 

 gemäß Satz 3 Hauptmengen von der Art, daß z. B. für jedes mzM 



,p{jn ^') = <p{m) ^,A^\m ^) =%/.(«) ^. 



Den Durchschnitt \Aj^, A^, A^ bezeichne man mit B. Nach Definition von 

 iWg ist für alle mMi^ (und für keine anderen Elemente von M) f(n)e4'in) 



oder auch (p(n) £%!/(«) , wo von nun an k den Index einer beliebigen Zelle 

 Af-sB bedeutet. Wegen B d^ A^ und B ^ A^ ist nach Satz 3 (p(n) = (p{7i) 

 und 4^(71) = •4/(?i ) , also auch (p{n je-d^yn) . Daher gilt, da wegen B 4= Aji 

 gleichzeitig mit n auch n Element von M ist, n eilfg, d. h. J/g ist symme- 

 trisch in bezug auf die Zellen der Hauptmenge B . Infolgedessen trifft offen- 

 bar dasselbe auch für ilfg, zu. 



Satz 5. Unter den Voraussetzungen des Satzes 4 werde M oder eines 

 der in (/> und \^ eingehenden konstanten Dinge variabel gelassen und mit x 

 bezeichnet, so daß statt der konstanten Menge M,^ (bzw. 31^,) eine Funktion 

 %(x) entsteht; dann gibt es zu %(a;) eine Hauptmenge, in bezug auf deren 

 sämtliche Zellen A;, für jedes Ding x %{x) konjugiert ist zu %{x). 



Nach diesen Ergebnissen definiere man rekurrent: 



A) Ein Grundding sowie eine Menge, die aus Grunddingen durch bloße 

 Verwendung der Axiome II, IV, V hervorgeht, heißt von o'" Klasse. Ebenso 

 heißt eine zugehörige Funktion, bei deren Bildung eines der Grunddinge 

 durch eine Variable ersetzt wird, von o'^"" Klasse. 



B) Eine Untermenge Ifg (bzw. ilfg,) ^^ M , definiert durch <pe-^ (bzw. cp 

 nicht s-J/), heißt von höchstens (^ + 1)'" Klasse, wenn sowohl M wie auch 

 die Funktionen <^ und -J/ von höchstens y" Klasse sind. Ebenso heißt eine 

 zugehörige Funktion, bei der M oder eines der in (p und 4^ eingehenden 

 konstanten Dinge variabel gelassen ist, von höchstens (p + 1 )'" Klasse. 



Nach Satz 2 ist jedes Ding o*" Klasse, nach Satz 4 jedes Ding von 

 höchstens i'"' Klasse in bezug auf die Zellen je einer gewissen Hauptmenge 



