258 Sitzung der phys.-math. Klasse vom 6. Juli 1922. — Mitt. vom 20. April 



Ein Satz über Kurvennetze auf geschlossenen Flächen. 



Von Dr. Hans Hamburger 



in Berlin. 



(Vorgelegt von Hrn. Schmidt am 20. April 1922 [s. oben S. lllj. 



§ 1. Definitionen und Problemstellung-. 



1. Auf einer geschlossenen zweiseitigen und im Sinne der Analysis situs 

 singularitätenfreien Fläche % vom Geschlechte Null denke man sich in folgen- 

 der Weise ein Kurvennetz definiert: 



Ist Po ein Punkt der Fläche, der von gewissen Punkten S,, S^- ■ ■ — den 

 singulären Punkten des Netzes — verschieden ist und sind u , v beliebige 

 krummlinige Koordinaten eines Punktes von %, so sei dem Punkte P„ ein 

 Paar stetiger Funktionen u{s ,t.\P^) ,v{s ,t\P^ zugeordnet, die einen einfach 

 zusammenhängenden Bereich ^^ der «/-Ebene auf eine Umge})ung i\ von P^ 

 stetig und umkelirbar eindeutig abbilden. Die Stücke der Netzlinien, die in 

 i2„ gelegen sind, seien nunmehr als Bilder der achsenparallelen Geradenstücke 

 aus 2o definiert. Der Punkt P„ soll ein regulärer Punkt des Netzes heißen. 



Ist P, ein zweiter, von P^ verschiedener regulärer Punkt des Netzes, so 

 ist ihm ein neues Funktionenpaar u(s ,t\P,) ,t{s ,t\P^) zugeordnet, das einen 

 Bereich X, der «/-Ebene auf eine Umgebung ü, von P^ stetig und umkehrbar 

 eindeutig abbildet. Überdecken sich i\ und ii, teilweise, so werde voraus- 

 gesetzt, daß die durch die beiden Funktionenpaare u{s ,t\P^) ,v{s ,t\ PJ einer- 

 seits und u (s,t\P,),v{s,t\ P,) andererseits in dem il^ und fi, gemeinsamen 

 Bereiche definierten Netzlinienstücke beide Male die gleichen sind. 



2. In der Umgebung ß„ von P^ existieren ferner Bildbereiche 23o von 

 achsenparallelen Rechtecken der «/-Ebene, die ganz im Innern von i2<, ge- 

 legen sind. Diese Bereiche 5><, werden reguläre Netzvierecke genannt, mithin 

 liegt jeder reguläre Punkt des Netzes im Innern eines j^assend konstruierten Netz- 

 vierecks, und umgekehi-t soll jeder Punkt des Netzes regulär heißen, der sich durch 

 ein reguläres Netzviereck überdecken läßt. Jeden Punkt von %, der dieser Bedingung 

 nicht genügt, hat man als singulären Punkt des Netzes anzusehen. 



3. Nunmehr setze inan voraus, daß alle Punkte von % mit Ausnahme 

 eines einzigen Punktes N reguläre Punkte des Netzes sind. Diese Voraus- 

 setzungen sind z. B. bei dem Kurvennetz auf einer Kugeltläche verwirklicht, 

 das durch stereographische Projektion der achsenparallelen Geraden der 

 «/-Ebene erzeugt wird. Oifenbar sind in diesem Beispiel alle Punkte auf 



