H. Hamburger: Ein Satz über Kurveniietze auf geschlossenen Flächen 259 



der Kugel reguläre Punkte des Kurvennetzes bis auf den Nordpol N, in dem 

 alle Netzlinien sich zu geschlossenen Linien zusammenschließen. 



Satz: Es wird nun behauptet, daß ebenso wie in diesem Beispiel die 

 Kurven eines jeden Netzes auf %_, das alle Punkte von % mit Ausnahme eines 

 einzigen Punktes JS zu regulären Netzpunkten macht, erstens sämtlich geschlossene 

 Linien sind^ die den Punkt N enthalten ^ daß zweitens eine Netzlinie, die durch 

 den regulären Punkt P hindurchgeht, ein reguläres Netzviereck, das P enthält, nur 

 ein einziges Mal durchquert^. 



Der Beweis dieses Satzes ist im § 3 geführt, nachdem im § 2 einige 

 Hilfsbetrachtungen vorausgeschickt sind. 



4. An anderer Stelle soll eine ausführlichere Untersuchung des Verfassers 

 über Kurvennetze auf geschlossenen Flächen mit nur isolierten singulären 

 Stellen veröli'entlicht werden. Mit den dort gescliaffenen Hilfsmitteln läßt 

 sich auch das in dieser Note mitgeteilte Resultat weiter vertiefen und führt 

 zu dem Satze: 



Bedeckt ein Kurvennetz eine geschlossene Fläche ^5 vom Geschlechte Null voll- 

 ständig, so daß alle Punkte von ^ bis auf einen einzigen Punkt N regidäre Punkte 

 des Netzes sind, so existiert eine Abbildung von ^ auf einen einfach zusammen- 

 hängenden Bereich ® der st-Ehene mit folgenden Eigenschaften: 



I. Der Bereich (£) ist entweder schlicht oder erstreckt sich auf einer tnehr- 

 blättrigen Riemannschen Fläche, dessen VerzweigungspunMe sämtlich auf dem Rande 

 von iS liegen. 



II. Die von N verschiedenen Punkte von ^ werden stetig und umkehrbar 

 eindeutig auf das Innere von © abgebildet. 



III. Nähert sich ein Punkt auf % dem Punkte N, so nähert sich der Bild- 

 punkt des Bereiches <B einem Randpunkte von ©. 



IV. Die Netzlinien auf% sind Bilder der aclisenparallelen Geradenstücke von ©. 



§ 2. Hilfsbetrachtungen. 



5. Definition: Ein auf einer gekrümmten oder ebenen Fläche gelegenes 

 Gebiet ® sei vollständig von einem Kurvennetz überdeckt, derart, daß alle 

 Punkte von ® bis auf endlich viele reguläre Punkte des Netzes sind. Im 

 Innern von ® sei ein einfach zusammenhängender Bereich *P gegeben, dessen 

 Rand p nur reguläre Punkte des Netzes enthält und sich aus endlich vielen 

 Stücken von Netzlinien zusammensetzt, "ft nennen wir ein Netzpolygon, 

 p einen Polygonzug. Die Punkte von p, in denen Stücke verschiedener Netz- 

 linien zusammenstoßen, heißen Ecken, die Stücke von p, die die Ecken ver- 

 binden, heißen Seiten des Polygons; ferner unterscheiden wir einspringende 

 von ausspringenden Ecken, je nachdem die Fortsetzimgen der beiden in der 

 Ecke zusammenstoßenden Netzlinienstücke über die Ecke hinaus beide im Inneren 



' Diesen Satz hat der Verfasser zuerst auf dem ISaturforschertaii in Jena in der Dis- 

 kussion zu einem Vortrag von Hrn. H. Kneser, Kurvensclaren auf gesch)o.ssenen Flächen, 

 formuliert (vtl. den Verhandlungsbericht der D. JI. \'. Jahresber. 30 (192 i) 2. Abteilung S. 'V-i). 

 Vgl. auch den Anhang der Aibeit von H. Kneser, Untersuchungen zur Quantentheorie, Math. 

 Ann. 84 (1921) S. 300^302, wo gezeigt wird, daß ein einfaches System von Scharkurven ohne 

 Singularität nur auf einer Ring:fläehe existieren kann. 



