260 Sitzung der phys.-math. Klasse vom 6. Juli 1922. — Mitt. vom 20. April 



von ^ bzw. außerhalb von %}i gelegen sind'. Ist a die Anzahl der aus- 

 springenden, e die Anzahl der einspringenden Ecken A'on p, so sagen wir. 

 '53 ist ein Netzpolygon vom Typus a — e = i- . 



6. Zusatz. Z. B. ist der von einer geschlossenen doppelpunktlosen Netz- 

 linie begrenzte, einfach zusammenhängende Bereich als ein Netzpolygon vom 

 Typus Null anzusehen. Hat eine Netzlinie einen einzigen Doppelpunkt und 

 begrenzt das Stück der Netzlinie, das vom Doppelpunkt zu diesem wieder 

 zurückführt, einen einfach zusammenhängenden Bereich ^, so ist *P ein Netz- 

 polygon vom Typus — i oder -l- i , je nachdem die Fortsetzungen der 

 Netzlinie über den Doppelpunkt hinaus sich ins Innere von ^ erstrecken 

 oder nicht. 



7. Hilfssatz. Ist ® ein mit einem Kurvennetz vollständig überdecktes Gebiet 

 und ^ ein Netzpolygon im Innern von ® . das nur reguläre Punkte^ enthält^ so 

 ist ^ vo7n Typus r = 4 . 



Beweis. Da alle Punkte von ^, die Randpunkte mit eingeschlossen, 

 reguläre Punkte des Netzes sind, so denke man sich um jeden Punkt von ^ 

 ein reguläres Netzviereck konstruiert, wobei ein Netzviereck höchstens eine 

 Ecke des Polygons enthalten möge. Nunmehr wähle man aus der Menge 

 von unendlich vielen Netzvierecken, indem man sich auf einen bekannten 

 Fundamentalsatz aus der Theorie der Punktmengen von Heine-Borel stiitzt, 

 eine Menge 9t von endlich vielen Netz Vierecken aus, derart, daß ^ lücken- 

 los von Netzvierecken überdeckt ist. Unter diesen Netzvierecken gibt es 

 einige, 33',, die Punkte des Randes p enthalten und über %i hinausragen; 

 dann ist aber der ^ und einem ^l gemeinsame Bereich 2}" entweder selbst 

 wieder ein reguläres Netzviereck, oder aber, falls 53' eine einspringende Ecke 

 von p enthält, so läßt sich 55^' durch Stücke von Netzlinien in eine Siunme 

 von drei regulären Netzvierecken S','„ (,u = i , 2 , 3) zerlegen, die diese Netz- 

 linienstücke zu Seiten haben und sich längs ihnen berühren. Bezeichnet man 

 mit 91* die Menge, die man erhält, wenn man in 91 die 5>' durch die 231' 

 bzw. 23''„ ersetzt, so werden die Netzvierecke der Menge 9t* den Bereich ''^ 

 lückenlos iil)ei'decken, ohne über den Rand von ^ heran szuragen. 



Der zwei Netzvierecken von 91* gemeinsame Bereich ist nun aber wieder 

 ein reguläres Netzviereck, daher gelingt es, die Netzvierecke durch Stücke 

 von Netzlinien in endlich viele kleinere Netzvierecke zu zerlegen, derart, 

 daß ^ mit Netz Vierecken gleichsam lückenlos gepflastert ist, d. h., daß zwei 

 Netzvierecke außer den Seiten, längs deren sie sich berühren, keine gemein- 

 samen Punkte haben. Innere Punkte von ^, die genau zwei Netzvierecken ge- 

 meinsam sind, sind Seitenpunkte der beiden Vierecke, aber keine Eckpunkte; 

 innere Punkte von *P , die genau drei Netz Vierecken angehören, treten in zwei Netz- 

 vierecken als Eckpunkte, im dritten als gewöhnliche Seitenpunkte auf; endlich 

 innere Punkte, in denen vier Netzvierecke zusammenstoßen, sind für alle vier 

 Eckpunkte. Mehr als vier Netzvierecken kann kein Punkt von ^ angehören. 



' Aus der Definition eines regulären Netzpuuktcs des Abschnittes 1. folgt, daß in jedem 

 regulären Punkte sich zwei Netzlinien kreuzen. Daher müssen die Fortsetzungen der beiden 

 in einer Ecke von ip zusammenstoßenden Netzlinienstücke entweder beide gleichzeitig im Innern 

 von ?P oder beide gleichzeitig außei'balb von ^ gelegen sein. 



