H. Hamburger: Ein Satz über Kurvennetze auf geschlossenen Flächen 261 



Das Netzpolygon ^ läßt sich mithin als ein einfach zusammenhängender 

 Bereich auffassen, der dadurch entsteht, daß man eine endliche Anzahl re- 

 gulärer Netzvierecke in passender Weise längs ihrer Seiten aneinanderfügt 

 und dabei die eben auseinandergesetzten Vorschriften befolgt. 



Nunmehr überzeugt man sich leicht, daß bei diesem Konstruktionsver- 

 fahren die Differenz der ausspringenden und einspringenden Ecken unverändert 

 bleibt, da, wenn man ein neues Netzviereck in der vorgeschriebenen Weise 

 anfügt, die Anzahl der ausspringenden und einspringenden Ecken immer um 

 den gleichen Betrag" vermehrt wird. Nun ist aber ein Netzpolygon, das aus 

 einem einzigen regulären Netzviereck besteht, vom Typus r = a — ^ ^ 4 ; 

 folglich ist jedes Netzpolygon ^, das nur reguläre Punkte enthält, vom 

 Typus r^4. W. z. b. w. 



§ 3. Beweis des Hauptsatzes. 



8. Es werde von allen Punkten auf '^ außer von einem einzigen Punkte N 

 vorausgesetzt, daß sie reguläre Punkte des ^ vollständig überdeckenden 

 Netzes sind. 



Dann existiert auf ^ keine geschlossene doppelpunktlose Netzlinie, die 

 nicht durch N geht; denn andernfalls würde die geschlossene Netzlinie die 

 Fläche % in zwei einfacJi zusammenhängende Bereiche zerlegen, von denen 

 der eine N in seinem Innern enthält, der andere, den wir mit ^ bezeichnen 

 wollen, nur aus regulären Punkten besteht. Andererseits ist aber ^ nach 

 den Definitionen des vorigen Paragraphen (vgl. insbesondere den Zusatz 

 des Abschnittes 6) ein Netzpolygon vom Typus Null, im Widerspruch 

 mit. der Behauptung des Hilfssatzes, nach dem das überall reguläre Netz- 



Fig.2. Pol-Vgor^ ^^ '^om Typus 4 sein 



müßte. 



Es existiert auch keine Netz- 

 linie, die einen Doppelpunkt ent- 

 hält, ohne daß auf der von der 

 Netzlinie gebildeten Schleife, die 

 vom Doppelpunkt zu diesem zu- 

 rückführt, der Punkt N gelegen 

 ist; denn andernfalls würde diese 

 Schleife die Fläche % wieder in 

 zwei einfach zusammenhängende 

 Bereiche zerlegen, von denen der 

 eine, ^, der N nicht in seinem 

 Innern enthält, überall regulär ist 

 und gleichzeitig nach Abschnitt 6 

 ein Netzpolygon vom Typus ± i 

 sein würde, im Widerspruch zum 

 l"' [* Hilfssatze. 



Ist 23 ein beliebiges reguläres Netzviereck auf %, l eine Netzlinie, die 53 

 mehr als einmal durchquert, endlich l* dasjenige Stück der Netzlinie, das sich 

 vom ersten Eintritt von t in 53 bis zum zweiten Austritt von l aus 33 erstreckt 



Sitzungsber. p hys.-math. Kl. 1922. 23 



