202^ Sitzung der phys.-niath. Klasse vom 6. Juli 1922. — Mitt. vom 20. April 



(d. h. aus den beiden Stücken von ( im Innern von 33 und dem Bogen besteht, der 

 außerlialb ffi diese beiden Stücke verbindet), so muß Ä^ auf I* liegen. Denn 

 andernfalls läßt sich ein geschlossener doppelpunktloser Linienzug finden, der 

 sich aus einem Stücke von l* und einem Netzlinienstück aus 53 zusammensetzt 

 (vgl. Fig. 1 und 2). Der eine der beiden einfach zusammenhängenden Bereiche, 

 in die ^ durch diesen Linienzug zerlegt wird, würde nur reguläre Punkte des 

 Netzes enthalten und wäre, im Widerspruch zum Hilfssatze, gleichzeitig ein 

 Netzpolygon vom Typus Null (siehe Fig. i), bzw. vom Typus 2 (siehe Fig. 2), 

 bzw. vom Typus — 2 (wenn der überall reguläre Bereich auf 5^ außerhalb des in 

 F^ig. 2 durch l* begrenzten Bereiches gelegen wäre). 



9. Sei 7 ein beliebiger geschlossener doppelpunktloser Weg (7 braucht 

 keiner Netzlinie zu folgen) ; er teile die Fläche ^ in zwei einfach zusammen- 

 hängende Bereiche 53 und i^, von denen der eine, il, den Punkt iV in seinem 

 Innern enthalten möge; der andere, 53, besteht dann nur aus regulären Punkten 

 des Netzes. Nunmehr denke man sich jeden seiner Punkte von einem regu- 

 lären Netzviereck überdeckt und aus dieser unendlichen Menge nach dem ' 

 BoRELSchen Satze eine Menge dl von endlich vielen Netzvierecken derart aus- 

 gewählt, daß S3 bereits durch die Netzvierecke der Menge 9^ lückenlos über- 

 deckt ist. Der Gesamtbereich, der sich aus den Netzvierecken der Menge 91 

 zusammensetzt, werde mit %^ bezeichnet, er sei einfach zusammenhängend und 

 enthalte 53 ganz in seinem Innern, so daß p, der Rand von ^, ganz im Innern 

 von fJ gelegen ist, ohne den Punkt N zu enthalten. 



Da, wie gezeigt wurde, keine geschlossene Netzlinie existiert, die N 

 nicht enthält, ferner keine Netzlinie in ein reguläres Netzviereck mehr als 

 einmal eintreten kann, ohne vorher durch N hindurchzugehen, so werden die 

 Netzlinienstücke von ^ sich von einem Randpunkte von p zu einem andern 

 erstrecken und auf ihrem Wege nur endlich viele Netzvierecke, jedes nur ein 

 einziges Mal, durchlaufen. 



Diese Konstruktion läßt sich aber für jeden Bereich 53 ausführen, wie 

 klein auch immer die Umgebung ^ von N sein möge, die die Randkurve 7 

 vom Bereiclie S trennt. Daraus folgt, daß die beiden Enden auf p eines 

 jeden Netzlinienstückes in ^ , da p zur Umgebung il von N gehört, in be- 

 liebiger Nähe von N liegen, mithin dem Punkte N als Grenzpunkt zustreben, 

 wenn man 7 auf N zusammenzieht. 



Damit sind alle Behauptungen des im § i Abschnitt 3 formulierten Satzes 

 bewiesen. 



Ausgegeben am 17. August. 



ckt in der Reichsdrucierei. 



