414 Sitzung der physiknlisch-mathematischen Klasse vom 2. November lf>2tJ 



Zur Frage: Haben die Klassenfunktionen Differential- 

 gleichungen? 



Von F. SCHOTTKY. 



U nter den Klassenfunktionen eines Gebiets der a;-Ebene verstehe ich solche 

 Funktionen K{x) , die im Innern sowie auf der Grenze eindeutig definiert 

 sind, im Innern sich wie rationale verhalten und auf der Grenze reell sind. 

 Ich nenne sie deshalb so, weil die reellen rationalen Funktionen mehrerer 

 von ihnen wieder zu derselben Art gehören, und weil je zwei unter ihnen 

 algebraisch voneinander abhängig sind. Ihre imaginären Teile, vom Faktor i 

 befreit, sind im weiteren Sinne GreenscIic Funktionen des Gebiets'. 



Die Grenzen des Gebiets denken wir uns entweder als geschlossene al- 

 gebraische Kurvenzöge, wie Kreise, Ellipsen, unbegrenzte gerade Linien, oder 

 polygonartig aus Teilen solcher Kurven zusammengesetzt. Aber die Anzahl der 

 Randlinien soll endlich sein. 



Unter besonderen Voraussetzungen haben die K(x) bekanntlich Diflerential- 

 gleicliungcn. Nimmt man an, daß das Gebiet durch lauter geradlinige Polygone 

 begrenzt sei, so besteht, wenn z := K(x) irgendeine der zugehörigen Klassen- 

 funktionen ist, zwischen z und dem Quotienten 



dz' 



dz 



eine algebraische Gleichung; denn q ist in diesem Falle ebenfalls Klassen- 

 funktion. Demnach genügt x als Funktion von z einer homogenen Differential- 

 gleichung zweiter Ordnung, in der x selbst nicht vorkommt. Und im all- 

 gemeinen keiner von niedrigerer Ordnung, außer wenn an die Stelle der 

 Polygone bloße geradlinige Strecken treten, die alle nach einem und demselben 

 Punkte konvergieren, oder wenn alle Winkel in rationalem Verhältnis zu tt 

 stehen. 



Sind die Seiten der Polygone durch Kreisbogen gebildet statt durch gerade 



dq 

 Linien, so ist im allgemeinen nicht q , aber 2 -— 5^" = ''» der ScnwAUzsche 



dz 



Difterentialausdruck, mit z durcli eine algebraische (Jleichung verbunden. 

 ' Genaueres hierüber auf den ersten Seiten meiner Arbeit im Journ. f. Math. Bd. 83. 



