Schotiky: Zur Frage: Haben die Klassenfunktionen Differentialgleichungen l-" 415 



üemnacli genügt x einer Differentialgleichung dritter Ordnung, in der wieder x 

 selbst nicht vorkommt und die homogen ist in bezug auf die drei ersten 

 Ableitungen von x. 



Die Frage ist nun: Gibt es solche Differentialgleichungen allgemein, 

 gibt es sie speziell in allen den Fällen, wo die Polygone, die die Begrenzung 

 bilden, sich aus Teilen von Kurven zweiter Ordnung zusammensetzen? Die 

 Antwort lautet: Nein ; und dies zu beweisen ist der einzige Zweck dieser Arbeit. 



Leider muß ich etwas umständlich verfahren. Zunächst zwei Vorbemer- 

 kungen. 



Erstens. Ist x = F{z) eine Transzendente, die einer algebraischen Diffe- 

 rentialgleichung genügt, so genügt sie unendlich vielen — denn man kann 

 die Gleichung differenzieren — , aber nur einer von der niedrigsten Ordnung. 

 Diese niedrigste Ordnung sei n, und es seien x', x" • ■ • a;'"' die n ersten Ab: 

 leitungen von x nach z. Wir schreiben die Gleichung in der Form : G = o , 

 wo G ein unteilbares Polynom ist, gebildet aus z , x und den n Ableitungen 

 von X. Dieses Polynom ist, bis auf einen konstanten Faktor, ein vollständig 

 bestimmtes, auch wenn man in ihm unter z, x, x' u. s. f. ganz willkürliche 

 Größen versteht. H sei eine andere ganze Funktion derselben w -+- 2 willkür- 

 lichen Größen, in impliziter Form gegeben, als Funktion von Funktionen. 

 Wir setzen voraus, daß auch H = o werde, wenn man darin für die n-hi 

 willkürlichen Größen die Variable z und die Funktion x mit ihren Ableitungen 

 einsetzt. Dann ist das Polynom H notwendig durch G teilbar. Denn sonst 

 hätte man für x zAvei A^erschiedene Differentialgleichungen ?^ter Ordnung, und 

 man würde, indem man die höchste Ableitung eliminiert, eine Gleichung von 

 niedi'igerer als der nten Ordnung erhalten. Nehmen wir speziell an, daß 

 in dem Ausdruck G die Größe x selbst nicht vorkommt. Da wir eine Gleichung 

 H = u ■ G haben, die eine Identität ist, so besteht sie auch, wenn wir für 

 x', x" etc. die verschiedenen Ableitungen der Funktion F{z) einsetzen, x selber 

 aber ganz willkürlich lassen. Dann ist aber G ^ o , folglich auch H =: o. 

 Wir sehen also: die vorausgesetzte Gleichung H = o bleibt, bei unserer An- 

 nahme über G , auch dann richtig, wenn wir unter x', x" etc. die Funktionen 

 F'(z) , F"(z) u. s. f. verstehen, unter x selbst aber einen willkürlichen Para- 

 meter. Demnach ist es auch zulässig, die Gleichung H = o partiell nach x 

 zu differenzieren. 



Neben die Gleichung H=o treten also die folgenden: 



dH d'H 



-7^ = O , TT--- = -O U. S. t., 



X ox 



und in allen dürfen wir für x einen ganz beliebigen Wert setzen. 



Zweitens. Wir nehmen ein Gebiet, begrenzt durch Polygone, deren 

 Seiten Teile algebraischer Kurven sind, gehen aber von dieser Figur zu einer 

 andern über, indem wir beliebig viele Seiten der Polygone auslöschen, die 

 übrigbleibenden aber zu vollständigen Kurven ergänzen (unbegrenzten Geraden 

 oder vollen Kreisen, vollen Ellipsen u. s. f.). Es sei z = /f(j-) irgendeine der 

 Ä^- Funktionen der ersten Figur. Dann stellt diese Gleichung eine analytische 

 Beziehung zwischen x und z dar, die in bezug auf die zweite Figur folgende 



