416 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse vom 2. November 1922 



Eigenschaft hat: Der Punkt x kann sich auf jeder der zu ihr gehörigen 

 Kurven ein Stück wenigstens entlang bewegen, während z reell bleibt, der 

 Punkt z also ein Stück der reellen Linie durchläuft. Natürlich ist durch diese 

 Bedingung die Beziehung zwischen x und ~ niclit festgelegt, aber wir können 

 doch fragen, ob, wenn wir sie annehmen, eine Differentialgleichung zwischen 

 X und z bestehen kann. — 



Wesentliche Dienste leistet uns ein Hilfssatz. Wir nehmen in der x- 

 Ebene drei unbegrenzte gerade Linien an, die ein wirkliches Dreieck bilden, 

 und zwar ein inkommensurables, d. h. ein solches, dessen Winkel zum 

 Winkel tt nicht in rationalen Verhältnissen stehen. Von der analytischen 

 Beziehung zwischen x und z setzen wir voraus, daß x sich auf jeder der 

 drei Geraden ein Stück wenigstens bewegen könne, während z reell bleibt, 

 ferner, daß x als Funktion von z einer algebraischen Differentialgleichung 

 genüge, von der Ordnung w , wo n die niedrigste Ordnung bedeutet. Wir 

 behaupten: Diese Differentialgleichung niedrigster Ordnung hat die Form 

 G = o , wo G ein Polynom ist, abhängig von z und den n Ableitungen von 

 X, aber nicht von x selbst, und wo G außerdem homogen ist in bezug auf 

 diese Ableitungen. 



Beweis. Es sei x = a einer der drei Eckpunkte des Dreiecks, w der 

 zugehörige Winkel, und es seien u , oc + w die beiden Winkel, die die beiden 

 in a zusammentreffenden Geraden mit der positiven Abszissenlinie bilden. 



Der Voraussetzung nach ist — keine rationale Zahl. Setzen wir 



TT 



X — o ^ te'" = T(^' *""'''' , 



so sind t und r zwei durch die Gleichung t = re'" verbundene Größen, A^on 

 denen t auf der ersten, t auf der zweiten Geraden reell ist. Eis gibt nun, 

 wenn wir z als abhängig von x betrachten, einen Zweig dieser mehrdeutigen 

 Funktion, eindeutig definiert auf einem Stück der ersten Geraden und seiner 

 Umgebung, der reell ist, wenn x diese Strecke durchläuft. Ebenso einen 

 Zweig, eindeutig definiert für die Umgebung eines Teils der zweiten Geraden, 

 der auf dieser zweiten Geraden reell bleibt. Wir ziehen durch die a-Ebene 

 eine Linie L , die einen beliebigen Punkt der ersten mit einem Punkte der 

 zweiten Strecke verbindet und den einen Zweig in den andern überführt. 

 Wir haben alsdann eine Funktion z = f{x) , eindeutig definiert für die 

 Linie L, die beiden anstoßenden geraden Strecken und die Umgebung dieser 

 aus drei Linien gebildeten Figur; sie ist reell auf beiden geradhnigen Strecken. 

 Auf der zweiten ist aber t reell; es ist demnach z=f{x) eine Funktion 

 von T, die für reelle Werte von r eines bestimmten Intervalls selbst reell 

 ist. Demnach läßt sich die Funktion über die zweite Strecke hinaus so 

 fortsetzen, daß zu konjugierten Werten von r auch konjugierte von z gehören. 

 Zwei Punkte, in denen r konjugierte Werte hat, wollen wir entsprechende 

 nennen. Der Linie L entspricht auf diese Weise eine andere Linie L', die 

 sich an L anschließt. Beide zusammen, L und L', bilden eine Linie M, 

 die durch die zweite Gerade hindurchgeht und durch sie in zwei symmetrische 

 Hälften zerlegt wird; im Anfangs- und im Endpunkt hat t, und ebenso z, 



