SfjHoriKY : Zur Fi'a!>o: Haben die KInssenfunktioneii Differentialgleichungen;' 417 



konjugierte Werte. Nennen wir x^, z^, t^, t^ die Werte von x , z , f , t im 

 Anfangspunkt, x,,z,,t,, r, die im Endpunkt, z^ und 4 sind reell, t„ = t^e ~^''". 

 ~, und T, sind die zu z„ und t^ konjugierten Werte, also z^ = z„, r, ^ t^e'" 

 = T^ • ^'"'*'. Es geht demnach, wenn a; die ganze Linie M durchläuft, z in 

 sich selbst über; r dagegen, und damit auch die r proportionale Größe x — a, 

 ändert sich um den Faktor er"". Es ist 



f{x„) =/(x^) für X, — o = (x„ — a)<?"'. 



Hier ist .i,, ein beliebiger Punkt der ersten geradlinigen Strecke. Wenn 

 aber eine solche Gleichung gilt für jeden beliebigen Punkt einer Linie, so 

 bleibt sie auch bestehen für deren Umgebung. Wir können demnach sagen: 

 Die Funktion z = f(x) , wenigstens einer ihrer Zweige, kehrt in sich selbst 

 zurück, wenn man auf bestimmtem Wege A^on x zu einem Punkte x' über- 

 geht, der mit x durch die Gleichung x' — a = {x — a) f""" verbunden ist. 



Betrachten wir umgekehrt x als Funktion von c, so folgt hieraus: Es 

 gibt geschlossene Wege in der 2-Ebene, auf denen x — a sich um den Faktor 

 e^''" ändert. Lassen wir z einen solchen Weg mehrfach durclilaufen, in der 

 einen oder der entgegengesetzten Richtung, so tritt an die Stelle dieses Fak- 

 tors: e'''"" , wo A.jede beliebige ganze Zahl sein kann. Diese unendlich vielen 



, - CO 



Größen f^"" sind aber alle untereinander verschieden, da keine rationale 



TT 



Zahl ist. Es gibt demnach unendlich viele verschiedene Größen s, von denen 

 man sagen kann: x — a geht auf einem geschlossenen Wege in t {x — o) über. 

 Dann muß aber auch die Differentialgleichung G = o bestehen bleiben, 

 wenn man x durch a-he (x — a) und demnach x' durch ex', x" durch zx" ersetzt, 

 U.S. f. Es bestellt demnacli neben der Differentialgleichung G {z; x, x', x" • • •) = o 

 auch die andere 



G (z , a-he (x — a) , ex , ex" • • ■) = o . 



und zwar für unendlich viele verschiedene Werte von e. Also für alle; denn 

 das, was links steht, ist in bezug auf e eine ganze Funktion. Dann kann 

 man aber die zweite Gleichung auch nach e differenzieren und im Resultat 

 £^ I setzen. Dadurch ergibt sich: 



9G , dG , ^(r ,„, 



7^ — (x — a) ■+- -7^—7 X -i 1- „ , , x'^ > = o . 



ex (Jx dx^' 



Dies gilt, wenn a einer der Eckpunkte des Dreiecks ist, ebenso aber für 

 die beiden andern. Demnach hat man die beiden Gleichungen: 



'6G _ 



dx 



-7=: — r ^' + ^^ — TT ■''- + ^tC. = O . 



cx ex 



Die erste Gleichimg muß eine Identität sein, gültig für beliebige Werte A'on 



d G 

 z, X, x u. s. f.: denn ^ — kann nicht durch G teilbar sein. Es kann daher 



X 

 SWzungsber. phys.-niath. Kl. 192^. 3fj 



