418 Sitzung der physikalisch-rririthematischen Klasse vom 2. November 1922 



der Ausdruck G die Größe x nicht enthalten. Bei der zweiten Gleichung 

 muß der Ausdruck links durch G teilbar sein. Er ist aber nicht von höherer 

 Ordnung als G, in bezug auf keine der Veränderlichen. Folglich ist der 

 Quotient eine Konstante; das heißt: die Funktion G ist homogen in bezug 

 auf x', x" u. s. f. Der Hilfssatz ist damit bewiesen, aber wir fügen noch 

 folgendes hinzu. 



Da die Gleichung G ^= o homogen ist in den Ableitungen von x, und 

 X selbst nicht vorkommt, so kann sie dargestellt werden als Gleichung zwi- 

 schen z und den Quotienten von x", x'" ■ • ■ x'"' durch x'. Der erste dieser 

 Quotienten ist q ; die übrigen lassen sich ausdrücken durch q und die n — 2 

 ersten Ableitungen von q: q', q" u. s. f. Es ist: 



x" := qx' , x'" ^ {q -\- q') .v' , u. s. f. 



So hat man zunächst eine Differentialgleichung n — 2ter Ordnung für q, oder, 

 wenn n = 2 ist, eine algebraische Gleichung zwischen q und z. 



Ist n > 2 , so transformieren wir weiter. Wir fähren neben q die Größe 

 r = 2q' — q^ ein. Die n — 2 ersten Ableitungen von q lassen sich dann aus- 

 drücken durch q,r, und, wenn n auch größer als 3 ist, die n — 3 ersten Ablei- 

 tungen von r. Die letzteren bezeichnen wir der Reihe nach mit r, , r^ • • •r„_^, 

 r selbst mit r^, so daß r, die Ableitung von r^, r^ die von /■, ist, u. s. f. Wir 

 nennen dies: die n — 2 Größen r. Damit bekommt die Gleichung 6r = o die 

 Gestalt: 



^{z , q ; r) =: o , 



v/o * (z, q; /•) wieder ein unteilbares Polynom ist, gebildet aus z, q und den 

 n — 2 Größen r. 



Jetzt führen wir neben x und z als dritten Punkt y eine Potenz von 

 X ein : 



y = •'•" > 



deren Exponent eine beliebige von o und 1 verschiedene ganze Zahl sein kann. 

 Die Voraussetzungen des Hilfssatzes behalten wir bei, fügen aber hinzu: 



Auch der Punkt 1/ soll sich, während z reell bleibt, in seiner Ebene 

 auf drei geraden Linien bewegen können, die ein inkommensurables Dreieck 

 bilden. 



Wird der Punkt «/ auf eine Gerade beschränkt, etwa durch die Glei- 

 chung y ■= a + bt, wo t eine reelle Veränderliche bedeutet, so wird der 

 Punkt X beschränkt auf die Linie x" = a + ht, die im allgemeinen eine Kurve 

 ist. Unsere jetzigen geometrischen Voraussetzungen bestehen also im folgeii- 

 den: es sind drei gerade Linien gegeben und drei Kurven, auf denen sich 

 der Pimkt x bewegen kann, während z reell bleibt. 



Dabei soll die Differentialgleichung G = o bestehen. Aber dann muß 

 sich noch eine zweite, H = o , aufstellen lassen, der y genügt. Beide müssen 

 von derselben Ordnung sein, da die eine aus der andern durch die Trans- 

 formation y = x" hervorgeht. Auch von derselben Form, die der Hilfssatz 

 angibt, da der Punkt y sich ebenfalls bei reellem ~ auf drei Graden bewegen 

 kann. 



