SrHoiTKv: Zur Fnige: Ilaben Hie Klassenfunktionen DifFerenlialgleichungen? 41i) 



Statt dieser Gleichungen fr = o , H = o nehmen wir die transformierten : 



it(z , q; 7-) = o , 4' (c , Q ; 7?) = o , 

 in denen 



<i= '^ . '•.. = 2q-q\ 



Q= y~, , R^^ 2(1' -<r 



y 



ist, während R die Reihe bedeutet, gebildet aus R^ und den n — 3 ersten Ab- 

 leitungen von Äo . Wir fügen noch den Quotienten 



x' 



X 



hinzu. Dann lassen sich Q und die Größen R durch p , q und die r aus- 

 drücken. Da y = x" ist, so hat man 



Q = q + (cc—i)p . 



Wäre n ::= 2 , so wäre q eine algebraische Funktion von z (da dann in 

 der Gleichung $ :^ o gar kein r auftritt). Von Q gilt dasselbe; es wäre also 

 auch p algebraisch. Wir hätten damit eine Differentialgleichung für x, von 

 niedrigerer als der ?iten Ordnung, was gegen die Voraussetzung ist. Es muß 

 also n mindestens gleich 3 sein. — Es ist ferner: 



p'=p{q —p) . 



Daraus ergibt sich durch leichte Rechnung: 



Ro = >'o (^' 1)P^ • 



Wir bilden jetzt die n — 3 Ableitungen von R^ und setzen durchweg, 

 für u = o , i ■ ■ ■ n — 3 : 



^» = r^—{oi:—i)p'H^, 

 so daß H^ = I ist. Indem wir dies, für ij. ^n — 3 , differenzieren, erhalten wir: 



K + < = >\ + ^ — i'^'—i){p'H^-i-2p'{q—p)H^} . 

 Daher ist: 



H^^, = Hl-^2{q—p)H^, 



wo H'^ die Ableitung von H^ nach z bedeutet. 



Da i/o = I ist, so ist nach dieser Rekursionsformfl: 



H, = 2{q—p) . 



Alle übrigen H^ sind Polynome, mit rationalen Koeffizienten gebildet aus p , 

 q und den Größen r. Man sieht nämlich leicht, daß, wenn F ein solches 

 Polynom ist, für seine Ableitung 



dF , '6F , ^dF . 



op dq -^ öj- 



folgende Sätze gelten: 



I. Hängt F ab von p , q , i\ , /',■■■ i\ , so hängt F' ab von p , q , /•„ . 



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