420 Sitzung der physikalisch-mathematisclien Klasse vom 2. November 1922 



Denn da p' =p(q — p) ist und q' := — (y' + '^o), «o hat man 



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^, dF ^ ^ i dF ^ ^ ^ dF dF 



dp 2 cq d?'o or^ 



II. Ist F von p unabhängig, so gilt von F' dasselbe. 



dF 



Denn dann ist ^^ — =: o . 

 vp 



III. Ist F durch p teilbar, so ist F' ebenfalls durch p teilbar. 

 Denn ist F=f-p, so ist F'=(f'+f{q — p))p ■ 



IV. Ist F in bezug auf q von niedrigerem als dem ixten Grade, so ist 

 F' in bezug auf q von niedrigerem als dem |U+ iten Grade. 



Dies geht unmittelbar aus dem Ausdruck von F' hervor. 



V. Fängt die Entwicklung von F nach absteigenden Potenzen von q mit 

 cq" an, wo c eine von o verschiedene Zahl ist, so fängt die von F' an mit 



Denn dann kann man setzen: 



F=cq"-hf, 

 wo / in bezug auf q von niedrigerem als dem |uten Grade, /' also (nach IV) 

 von niedrigerem als dem jm+ iten Grade ist. Da F' = — iJLCq''~' (q" -hrj-hf 



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ist, so ist auch der Satz V bewiesen. 



Hieraus folgt zunächst, daß H^ ein Polynom mit rationalen auch von u 

 unabhängigen Koeffizienten ist, in dem außer p und q nur die Größen r„ , 

 i\ • ■ ■ r^_^ auftreten. Denn dies stimmt für ß =. i , wo H^ = 2 (q — p) ist, 

 wo also gar kein r auftritt, auch r^ nicht. Ist es aber richtig für irgendein 

 fj., so folgt aus I und aus der Rekursionsformel, daß es auch für das folgende 

 jj. richtig ist. Ferner: Wenn, für irgendein fx , H^ in bezug auf q vom />iten 

 Grade ist, so ist H^ und ebenso {q — p)H^, also auchi/„^,, vom ju-i- iten 

 Grade. Da i/, vom ersten Grade ist, so ist durchweg H^ vom |uten. 



Entwickelt man H^ nach absteigenden Potenzen von q, so ist der Ko- 

 effizient der höchsten Potenz q" eine positive rationale Zahl. Dies folgt aus V. 

 Es ist zunächst richtig für fx ■= \ , da. H, = 2q — 2p ist. Es sei richtig für 



irgendein /u ; //„ fange an mit c^q" . Dann fängt H^ an mit — l^c^q"'*'' , 

 2 {q — p) H^ mit ar^g""^', //„ + , also mit 1 — ju + 2 j c^q"'^'; es ist: r„^j 



( — |U H- 2 1 c„ . Da r, := 2 ist, so ist jedes c^ eine positive rationale Zahl. 



Die übrigen Koeffizienten von H^ sind von den Größen r abhängig, und zwar 

 nur von /■ , r • • • ;•„ _ , . 



