ScHOTiKY : Zur Frage: Haben die Klassenfunktionen Differentialgleichungen!' 421 

 .Setzt man die Ausdrücke: 



Q = q-i-(^—i)p 



R^^ =. r^ — (<^'' — I )P^ ff« (u = o . I • n - 3) 



in die Funktion 'Ü (z , Q ; R) ein — indem man unter den //„ die hier be- 

 tracliteten Polynome verstellt — , so wird diese, in impliziter Form, eine 

 ganze Funktion der (Irößen z , p , q , /•„ • • • ''„-3 • Die Gleichung * (2, Q; R) 

 = o kann aber nicht wesentlich verschieden sein von der andern, ^ (z , q; r) 

 = o , der Ausdruck "Ü {z , Q ; R) muß ^{z , q ; r) als Faktor enthalten. Demi 

 sonst könnte man r„_^ eliminieren, und es ergäbe sich für x eine Differential- 

 gleichung von niedrigerer als der wten Ordnung. Daraus ziehen wir den 

 Schluß: die Gleichung * (2^ , Q; R) = o muß bestehen, wenn wir 



x" 



x 



Ro = 2q' — q" 



setzen, während R, , R, etc. die einzelnen Ableitungen von R^ sind; sie muß 

 bestehen, auch wenn man unter p eine ganz willkürliche Größe versteht. 



Dann aber ist es erlaubt, die Gleichung nach p zu differenzieren, und 

 alsdann für p jeden beliebigen Wert zu setzen. 



Setzen wir in der Gleichung direkt p == o , so bekommen wir: ±(z, q ; r) 

 = 0. Die Funktion * kann demnacli von * gar nicht verschieden sein; wir 

 schreiben einfach: 'if(z , Q ; R) = o . 



Die letztere Gleichung differenzieren wir nach p und setzen dann p ^ o . 

 Dadurch wird, da 



Q = q-+-{oc—i)p 



K = '>'^ — {oi."—\)p"H^ 

 ist: 



8Q _ _ 'im^ _ 



'dp ' dp 



Wir bekommen daher: 



d^iz , q , r) 



dq ~ 



Hieraus folgt, da die Ableitung nicht durch die Funktion selbst teilbar sein 

 kann, daß sie identisch o sein muß; q kann daher in dem Ausdruck gar 

 nicht vorkommen. Wir schreiben: *(^ ; /•) statt ^(z , q\ r) . 



Jetzt ist ein Unterschied zu machen. Wenn ä = — i ist, so hat man: 



Q = q+2p, U^ = r^. 



Die Gleichung ^{z ; R) = o ist daher mit *(~ ; r) = o im Einkhmg. Es 

 besteht kein Widerspruch: x, als Funktion von z, kann einer Differential- 

 gleichung genügen. 



Ist a :^ — I , so stellt die Gleichung x" ==: a + bt einen Kreis dar ; die 

 drei krummen Linien, auf denen z reell sein soll, sind Kreise. 



