422 Sitzung dei' physikalisch-mathematisclipn Klasse vom ■>. November 1922 



Nehmen wir aber a nicht nur von i , sondern auch von — i verschieden 

 an, so ist der Faktor a" — i nicht o. In diesem Falle differenzieren wir die 

 Gleichung *(c , li) ■=. o nach p und dividieren sie dann durch — 2 (a'' — \)p . 

 Wir hekommcn dadurch: 



und wenn wir liier /) = o setzen: 



2 '""ip-l H. = o. 



Dabei bedeutet H,^ den Ausdruck, der aus dem Polynom i/„ hervorgeht, wenn 

 man p = o setzt. 



Nach dem, was über die H^ gesagt ist, ist H^ eine ganze Funktion |uten 

 Grades von q, und der Koeffizient der höchsten Potenz, q", ist eine positive 

 Zahl. H, ist 2 q, also 



2 x" 

 x' 



H^ cntliält außer q noch die Größe i\ , also die drei ersten Differentialquotienten 

 von X . Allgemein enthält H^ nur die jx + i ersten Ableitungen von x . 

 Demnacli treten in der ganzen Reihe H^, H,-- H„_^ , wenn man diese Größen 

 durch die Ableitungen von x ausdrückt, nur x' , x" ■ ■ ■ x*"""' auf, und nicht 

 die nie Ableitung von x, nicht einmal die n — ite. 



Wir schließen jetzt, daß alle partiellen Differentialquotienten 



gleich o sein müssen. Wäre eine einzige von o verschieden, die übrigen o, 

 so würde aus der zuletzt aufgestellten Gleichung folgen, daß eine der n — 2 

 Größen H^, H, ■ ■ • H„_j gleich o sein müßte. Das wäre aber eine Differential- 

 gleichung für X von niedrigerer als der ?iten Ordnung. 



Nehmen wir an, daß mehrere dieser partiellen Differentialquotienten von o 

 verschieden wären, so hätten wir eine Gleichung, durch die q bestimmt wäre 

 als algebraische Funktion von r^ . /•, • ■ • r„_^ (da alle H^ in bezug auf q von 

 verschiedenem Grade sind); es wäre damit eine Differentialgleichung nter 

 Ordnung für x gegeben, die sicher von 4>(c; /•) = o verschieden wäre. Dies 

 ist ebenfalls unmöglich. 



Diese Differentialquotienten von * (c ; r) müssen aber auch identisch o sein, 

 bei willkürlichen Werten von z und den Größen r, da sie nicht durch ^{c; r) 

 teilbar sein können; ^{z,r) könnte von der Größe r gar nicht abhängen; 

 was natürlich unmöglich ist. Wir kommen zu dem Schluß: 



X , als Funktion von z betrachtet, genügt gar keiner Differentialgleichung, 

 wenn die aufgestellten geometrischen Bedingungen bestehen sollen. 



Nehmen wir ?i = 2 an. Hier ist jede der drei Kurven durch eine 

 Gleichung x^ = a + bt gegeben. Diese stellt eine gleichseitige Hyperbel dar, 



