Frosenwws: Über das quadratische Reciproecitätsgesetz. 335 
Über das quadratische Reziprozitätsgesetz. 
Von G. FroBEnius. 
Die vom Gaussischen Lemma ausgehenden Beweise des Reziprozitäts- 
gesetzes erfordern eine Abzählung von Gitterpunkten, die sich durch 
Zerschneiden und Zusammensetzen von Figuren in ähnlicher Weise 
ausführen läßt wie die zahlreichen Beweise des pythagoreischen Lehr- 
satzes. Die größte Bewunderung hat mit Recht die Art erregt, wie 
ZELLER (Monatsber. 1874, S. 846) diese Abzählung ganz direkt aus- 
führt. Aber auch seine Schlüsse lassen sich noch durch passende 
Anwendung jenes Verfahrens und konsequentere Benutzung seines 
Symmetrieprinzips vereinfachen. Für die Behauptung, daß 
= PN) +rtR 
gerade ist, erhält man so einen überaus anschaulichen und der geome- 
trischen Deutung unmittelbar zugänglichen Beweis, der die Vorzüge 
des fünften Beweises von Gauss mit denen des dritten vereinigt. 
Seine von keiner Rechnung getrübte Durchsichtigkeit läßt deutlich 
erkennen, daß der Schluß, der in den meisten Darstellungen als der 
Nerv des Beweises erscheint, für die Herleitung des Reziprozitäts- 
gesetzes selbst ganz überflüssig ist. Notwendig ist er, um zu zeigen, 
daß x durch 4 teilbar ist, was noch nirgends bemerkt worden zu sein 
scheint. Jene Behauptung begründe ich näher durch Vergleichung des 
Beweises mit dem fünften und dritten Beweise von Gauss. 
Voraus schicke ich einige Bemerkungen über die Definition, die 
ZOLOTAREFF für das Jacogısche Zeichen gegeben hat. 
1. 
Das Zeichen von ZOLOTAREFF. 
Ist p eine positive ungerade Zahl, so bezeichne ich mit R(x) den 
kleinsten positiven Rest der ganzen Zahl x (mod p). Ist q relativ prim 
zu p, so stimmen die Zahlen 
(1.) R(g), R(2g), --- R((p-1)g) 
