Frosenius: Über das quadratische Reeiproeitätsgesetz. 341 
Da py-gx an jeder der > Stellen entweder positiv oder negativ ist, 
so ist nach (ır.) und (13.) 
UL.) NEED ek 
Weil die Bedingung (12.) durch die Substitutionen (7.) in (14.) über- 
geht, so ist 
(16.) ANY =purte. 
Mithin ist 
A+p=r4w = (p-1)(g-1) (mod 2). 
Macht man in der Ungleichheit (12.) nur die eine der beiden 
Substitutionen (7.), so erkennt man, daß A+r = u -+u’ die Anzalıl 
der Stellen ist, die der symmetrischen Bedingung 
22 2% 
+ >1 
(17.) ae 
genügen; oder auch der Bedingung 
Be ern 
(18.) ne 
Nun kann man auch dem Beweise von ZELLER eine Form geben, 
die seinem Mangel an Symmetrie abhilft. Nach (2.) und (3.) ist A+u 
die Anzahl der Stellen «,y, die der Bedingung 
— le 
I am, N 1 
Sy ge A+u) 
genügen'. Diese aber geht durch die Substitution (7.) in sich selbst 
über. Gehört x,y zu den A+ u Stellen, so gehört dazu auch «', y”. 
Daher ist A-+u gerade, außer wenn 
=ı =- ö 
1 
(a ee ae) 
Do 
ganze Zahlen sind, wenn also p und qg beide von der Form 4n-1 
sind. Dann und nur dann ist A+ 1 ungerade. 
Liegt der Punkt x,y auf dem Streifen zwischen ZL’ und MM’ 
(dem Sechseck OLL’RM'M, oder dem Parallelogramm LL’MM', 
dessen Diagonalen sich in € schneiden), so liegt der symmetrische 
' Erst nach Abschluß dieser Arbeit ist mir die Mitteilung von Drvexinn über 
die ursprüngliche Form des Zerrerschen Beweises in der Festschrift für Heınrıcn 
WEBER zu Gesicht gekommen. Bis zu dieser Stelle stimmt dieser Beweis mit dem 
obigen überein, nur daß p <g vorausgesetzt wird. Dies liegt daran, daß die im Anfang 
dieses Paragraphen bestimmten Grenzen für y nicht aus der Ungleichheit (2.), sondern 
1 1 . ae 
ausyp>py-9%>-,p erhalten sind. Daß y>0 ist, kann ınan aber daraus nur 
schließen, wenn p < 24 ist. 
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