342 Gesammtsitzung vom 19. Februar 1914. 
Punkt x’, y’ auch darauf. Dieser Streifen nebst allen seinen Gitter- 
punkten kommt durch eine halbe Umdrehung um den Mittelpunkt € 
des Rechtecks mit sich selbst zur Deckung. Daher ist die Anzahl 
A-+ u dieser Gitterpunkte gerade, außer wenn das Zentrum der Sym- 
metrie 
1 1 
a— ae) ‚b= a) 
selbst ein Gitterpunkt ist. Bei diesem Beweise ist die Hinzunahme 
fremder Gitterpunkte gänzlich vermieden worden. 
$3- 
Der fünfte Beweis von Gauss. 
Gauss benutzt in seinem drilten Beweise ebenfalls die Zahlen 
A+A und n+w’, die er in $7 mit Z und M bezeichnet. Leider ist 
ihm die Beziehung Z = M entgangen; sonst hätte er uns viele Be- 
weise des Reziprozitätsgesetzes erspart. Statt dessen zeigt er, daß 
L=?r+X gerade ist. Aus denselben Gründen ist auch »+ u’ gerade, 
und mithin ist 
ArrzaıXtn = (mod 2). 
Demnach können die Beweise in zwei Klassen geteilt werden, 
je nachdem sie darauf ausgehen zu zeigen, daß L=M ist, oder daß 
L gerade ist. Den letzteren Weg halte ich für einen Umweg. Eine 
ähnliche Einteilung macht Scuerine (Gölt. Nachr. 1879, S. 217), der in 
dieses Gebiet nach Gauss am tiefsten eingedrungen ist. 
Aus dem Prinzip der Symmetrie abzuleiten, daß A +2’ gerade ist, 
ist mir nur durch die Deutung gelungen, die Gauss in seinem fünften 
Beweise für diese Zahl entwickelt hat. 
Er ordnet dort jeder Stelle «, vo eine Zahl 2 zu, die zwischen 
1 1 : e ® r 
-5>P4 und +5,99 liegende Zahl, die den beiden Kongruenzen 
z=u(modp) , z=v (mod g) 
genügt. Unter den Zahlen z, die den > Stellen x, y entsprechen, seien 
& positiv, d negativ. Unter den Zahlen 2, die den > Stellen - x, y 
entsprechen, seien 8 positiv, d negativ. Dann ist 
PEN oe Bye 
va a ‚ 1 
Ist x eine bestimmte der Zahlen 1,2, - a): so sind — (4-1) 
r 1 KR 
der Zahlen 1,2, -- lg — 1) kongruent — x» (mod p), nämlich 
l 
Be ER ae 29 5 var Er Sg 1)pE 
