Frosentus: Über das quadratische Reeiprocitätsgesetz. 343 
Irgendeinem der > (p-1) Werte von — x sind daher > (p-1) F („-)=p 
jener —( pqg-N\) Zahlen (mod p) kongruent. Von diesen z Zahlen sind 
ß irgendeinem der Werte von y (mod g) kongruent, d irgendeinem der 
Werte von —y, und A sind = 0 (mod g). Dies sind die A Zahlen aus 
der Reihe 
1 
en DE DigE 
die einem —x (mod p) kongruent sind. Daher ist 
p=B+ti+r=yHtörn. 
Aus diesen vier Gleichungen ergeben sich die Formeln 
2a=ptrtpn, a=ei+N —= urn, LUP=MM'Q, 
(1) 2ER a N u Ber  OKore r 
5 2m = Jar N ZU, Mu , OIOAO r 
[) 
28° = p-A-un, d=eN-n —=u'-i, LL'Q=MM'’P. 
In der ersten Spalte stehen die Formeln von Gauss, die Bedeu- 
tung der beiden anderen Spalten erläutere ich unten. Jede der vier 
Formeln beweist das Reziprozitätsgesetz. Ganz besonders deutlich 
zeigen sie, wie unnötig es für den Beweis dieses Satzes zu wissen, 
daß & gerade ist. 
Der fünfte Beweis‘ von Gauss ist (aber nicht in der Darstellung 
von KroNnEcKER) ebenso einfach wie der des $ 2, aber nicht so durch- 
sichtig und anschaulich. Dafür hat er den Vorzug, daß man aus der 
darin benutzten Definition von « leicht erkennen kann, daß « ge- 
rade ist. 
Ist das Zentrum der Symmetrie 
(7+1) 
1 j 
ee Zu »D . b = — 
a a) 1 
ein Gitterpunkt, so ist p = g = -1, also pg = 1 (mod 4), und folglich ist 
e= - 9-1) 
die ihm entsprechende Zahl 2, und diese ist negativ. 
Entspricht aber dem Punkte ., a eine positive Zahl 2, so ent- 
spricht dem symmetrischen Punkte «’, y’ nach (7.) $ 2 die Zahl 
1 
(2.) "= Z—(pg+l)-2 
die ebenfalls positiv ist. Folglich zerfallen die & positiven Punkte x, y, 
el : 
(denen ein positiver Wert von > entspricht), in —z Paare symmetri- 
