344 Gesammtsitzung vom 19. Februar 1914. 
scher Punkte. (Ist z negativ, so ist 2’ = - (pg-1)-2 ebenfalls ne- 
gativ.) 
Die zweite Spalte der obigen Tabelle erhält man, indem man die 
Formeln von GAauss mit den Relationen (15.) und (16.), $ 2 vergleicht. 
In der dritten Spalte habe ich mit 00’P und O0’Q die beiden Fi- 
guren bezeichnet, in die das Rechteck durch die Gerade 00’ geteilt 
wird. Der Punkt O0’ liegt nämlich auf der Seite PR oder QR, je 
nachdem p>g oder p<g ist. (Ist also p>g, so ist A<u’ und 
A>n.) In ähnlicher Weise bezeichne ich die Figuren, in die das 
Rechteck durch LL’ oder MM’ geteilt wird. Demnach ist LL’P das 
Fünfeck OLL’RP, und enthält « Gitterpunkte. 
Mit voller Absicht habe ich hier das Zeichen und den Begriff 
der größten ganzen Zahl unter einer gegebenen Größe vermieden, weil 
er den Sinn der Beweise des Reziprozitätsgesetzes mehr verdunkelt 
als erhellt. (Vgl. z.B. den Beweis von Hacks, Acta Math. Bd. 12, 
S. 2709, der mit dem Beweise in $ 2 nahe verwandt ist.) Dieser An- 
sicht scheint auch Drverıwp zu sein. Dagegen werde ich mich im 
folgenden einer Zeichensprache bedienen, die eine Vereinfachung der 
von Scuerine benutzten ist. Sind die Variabeln x und y so beschränkt 
wie oben, so bezeichne ich die Anzahl der Stellen des Bereiches (x, y), 
an denen f(z,y) <g(x,y) ist mit [f(x,y) <g(x,y)]. Ist nirgends 
f(x,y) = g(x,y), so ist, wie in der Formel (15.) $ 2 
(3-) Ir ,y) <ale,Wl+lfl&,y) > gl.) = P- 
Die Zahlen A,w’,A,« sind dann durch die Gleichungen 
(4-) v=[pry<a] » w = [py> ge], 
(5.) AH = [p(2y-)1)<g22] = u+tu = [p2y> g(2r-1)] 
definiert, die Zahlen von Gauss durch 
a = [p(2y-1) <g2e] = [p2y > g(2=-1)], 
(6.) ß = [p2y <g2«] —= [p(2y-1) > g(2x-1)], 
y = [pl2y-1)<g(2r-1)] = |p2y >q2e], 
0, — pP 2% <gl22-1)] = [p(2y-1) > g22]. 
Die zweite Formel geht jedesmal durch die Substitution (9.) $ 2 aus 
der ersten hervor. 
Die Verteilung der 0 negativen Punkte im Rechteck läßt sich ge- 
nauer beschreiben: Ist £, 7 ein solcher (im Innern oder auch am 
Rande des Rechtecks, aber die 4 Ecken O0, P, Q, R ausgeschlossen), so 
ist der entsprechende negative Wert z2—= E-py = u-q.«x. Die Zahl ö 
ist die Anzahl der Lösungen der Gleichung 
(7-) py-gE = sul; 
