Frogenius: Über das quadratische Reciprocitätsgesetz. 345 
wenn jeder der beiden Punkte x, y und Z£,» das Innere des Recht- 
ecks durchläuft. 
Die Bedingung hängt nur von £- ab. Ist also £’,„’ ein Punkt 
des Rechtecks, für den &'-„' = E-n ist, so ist er auch ein negativer 
Punkt (dagegen ist & = So), ne (9-1), 2 = .(pg-)) positiv, 
und ,E:—= er), "=Z(g+1), 2 -.(pg-1) negativ). Daher 
braucht man nur die negativen Punkte auf dem Rande zu suchen (mit 
Ausschluß der Eeken). Sei wieder w auf das Gebiet (x), y auf (y), $ 2 
beschränkt. Von den absolut kleinsten Resten der Zahlen - yx (mod p) 
[bzw. -py (mod g)] seien A [ea] positiv, 8:5" & In: ns n]- 
Man nehme auf OP die A Punkte mit den Abszissen &,,&,,:- &, und 
auf OQ die x Punkte mit den Ordinaten 7,,%,, : „, und ziehe durch 
jeden dieser A+ u (negativen) Punkte eine Parallele zur Geraden y — .w, 
die den Winkel POQ halbiert. Die Punkte im Innern des Rechtecks, 
die auf diesen A+n (zu C symmetrischen) Geraden liegen, sind die 
ö negativen Punkte. 
Ist p>g, so ist A>u und 
1 
(8.) sea-)ertes 
Beide Grenzen werden erreicht, z.B. die untere fürp-2=qy=4n+l, 
die obere für p-2=g = 4n-l. Denn die A+yu positiven Zahlen 
Es" &; Ms, sind alle untereinander verschieden, die Zahlen 
1 F r > 
2 10 1) kommen alle unter ihnen vor, von den Zahlen zwischen 
1 1 1 = Sr : - 
or und —p fehlen v = n (p-l)-A-n. Sind dies 7,, r7,, -' r,, so ist 
1 
(9.) En a ı el lt g) 
und in derselben Beziehung stehen die zwischen Se und ap liegen- 
den Werte unter den Zahlen &,&,::-&. Denn ist py-qx = £, so ist 
Ix <py<z(g-Yp<z(p-Ng, also °<,(p-3). Daher ist auch 
| 
e 1 1 ö 
(10) = (2u+D-»)-o(gr-D-2) ee 
eine der Zahlen &,,--:&. Wenn p +9g) eine ganze Zahl ist, so 
ist sie ein £ oder r, d.h. ist die Gleichung py-gx = n (p +9) mög- 
lich oder nicht, je nachdem g=-1 oder +1 (mod 4) ist; und das- 
- 2 ; 7 
selbe gilt für n (p-g) Aus diesen Überlegungen kann man nach 
