346 Gesammtsitzung vom 19. Februar 1914. 
ZELLER schließen, daß A+ u nur dann ungerade ist, wenınp=g=-1 
(mod 4) ist. Man hat aber immer umständliche Betrachtungen anzu- 
stellen, wenn man sich, wie in Gleichung (10.) einer anderen Sym- 
metrie bedient, als der durch (7.), $ 2 ausgedrückten. Solcher Sym- 
metrien kann man übrigens leicht noch andere aufstellen, wenn man 
p > mg voraussetzt. 
Ist 5 >&,>-- >& und n>n,>---n, so ergeben sich mit 
Hilfe von (7.), $ 2 die Relationen 
; $ 5 ; : : 1 
1.) az =. MM = Sr tra = .rata-ı = — >, (2a 
demnach &, > (p-9) > £&,;1. Endlich führt die am Ende des $4 
besprochene Methode von Dirienter (vgl. DEepekısp a. a. 0. S. 33) zu 
den Gleichungen 
2.) datt. +5) = piA+p)-p, 4m+n+ +) = glAtR)-P- 
R : 5 1 - 
Da die A-u verschiedenen Zahlen &,---&4<>(p-g9) Sind, 
so ist 
1 1 1 
(13.) Ru <lp,  ZE-NRr>—g-N)-R. 
Zum Schluß erwähne ich noch eine Deutung der Formel (17.), 
$ 2 in Verbindung mit den Formeln (11.) und (13.), $ 2. Ordnet 
man jeder Stelle «,v eine Zahl 7 zu, den absolut kleinsten Rest von 
-pvo-qu=-(p+g)z (mod pg), so sind unter den Zahlen, die den 
p Stellen w,y entsprechen, » positiv und d negativ; und unter den 
Zahlen, die den p Stellen -— x, y entsprechen, 8 positiv und y negativ. 
$ 4. 
Der dritte Beweis von Gauss. 
Durchläuft x, die geraden, x, die ungeraden Werte von x, so ist 
der Bereich (x) =(&,) + (x,) und analog (y) = (y,) + (y,). Itp=4n=1, 
so durchläuft x, die n Werte 1,3,---2n-1. Dann gibt Gauss in 
seinem dritten Beweise $ A, VIII, die Formel 
i 
A+Y) = —(g-Yr-Ipy<gal. 
| — 
[5 
Hier muß also unterschieden werden, ob p die Form 4rn +1 oder 
4n-1 hat. Diesem Schönheitsfehler ist aber leicht abzuhelfen. Es 
- ne 1 : 5 
ist nämlich. — (9-1)r die Anzahl der Punkte im Rechteck, deren Ab- 
