484 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 30. April 1914. 
Über das quadratische Reziprozitätsgesetz. II. 
Von G. FRoBENIUS. 
Wenn ein System von Punkten symmetrisch um ein Zentrum (© ge- 
lagert ist, so ist ihre Anzahl ungerade oder gerade, je nachdem C’ dem 
System angehört oder nicht. Nun ist A die Anzahl der Punkte zwischen 
OO’ und ZLL, und w die der Punkte zwischen OO’ und MM’. Keine 
dieser beiden Punktmengen ist symmetrisch. Werden sie aber ver- 
einigt, so bilden die A+ u Punkte zwischen LL’ und MM’ eine sym- 
metrische Menge. Ihr Mittelpunkt € ist zugleich das Zentrum der p 
Gitterpunkte im Rechteck OPQR. Daher ist A+yu zugleich mit p 
gerade oder ungerade. 
Gauss legt meistens, und auch in seinem dritten Beweise, großen 
Wert darauf, die Gleichungen zu entwickeln, die zu den abzuleitenden 
Kongruenzen führen. Beweise, die von vornherein mit Kongruenzen 
operieren, sind meist wenig durchsichtig. Es bleibt eben wenig von 
einer Gleichung übrig, wenn man sie in eine Kongruenz (mod 2) ver- 
wandelt. Ich habe nun bemerkt, daß man dem geometrischen Beweise 
von EisEnsTEIN (ÜRELLEs Journal Bd. 28) durch unmerkliche Abände- 
rungen eine Form geben kann, die der obigen Forderung gerecht wird. 
Im Grunde beruhen ja alle diese Beweise auf denselben Schlüssen, 
sie unterscheiden sich nur durch den Grad der Deutlichkeit, womit 
sie die entscheidenden Argumente ins Licht setzen. Die Beweisanord- 
nung von Eisenstein verdient nun, wie mir scheint, vor der von Gauss 
den Vorzug, weil sie diejenige Deutung der Zahl A, welche die Kon- 
gruenz A=X (mod 2) evident macht, unabhängig von der Definition 
von X entwickelt (Satz I, $ 5). 
Im Anschluß an diesen Beweis werde ich die verschiedenen An- 
ordnungen des dritten Beweises von Gauss besprechen und miteinander 
vergleichen. 
545. 
Die kleinsten positiven Reste. 
Sind p und g positive ungerade teilerfremde Zahlen, so durch- 
1 
laufe x die Werte 1, 2,..- — (p-1), und sei r, der kleinste po- 
z 
sitive Rest (mod p) von 
