486 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 30. April 1914. 
Dieser Satz macht den Sinn der Kongruenz 
(3.) = > =] =ıX (mod 2) 
vollständig klar. Hier ist 
v= [py<ge] 
die Anzahl der Gitterpunkte innerhalb des Dreiecks OP’R’, wo der 
Punkt R’ die Koordinaten OP’ = zp: P'R' — 5 g hat. Auf 
der Geraden OR’ entspreche der. Abzisse © = 0G die Ordinate 
= “97 — GH, und sei N die Mitte von GH. Auf GH liegen 
F 
? — A Gitterpunkte. Ihre Ordinaten y = 1, 2,3, 4,..- A sind 
abwechselnd ungerade und gerade. Die Anzahl der ungeraden Or- 
dinaten ist der Anzahl der geraden gleich, wenn A gerade ist, aber 
um 1 größer, wenn A ungerade ist. Betrachtet man alle Gitter- 
punkte innerhalb des Dreiecks OP'R’, so übersteigt demnach die 
Anzahl der Punkte mit ungerader Ordinate die der Punkte mit einer 
geraden um die Anzahl der ungeraden 4, d.h. um A. 
I. In dem Dreieck OP'R’ übertrifft die Anzahl der Punkte mit un- 
gerader Ordinate um A die der: Punkte mit gerader Ordinate. 
Da das Dreieck X? = [py<gx] Punkte enthält, so ist demnach 
(Gauss) 
(4.) x = [pn <ge] - [po <ge]; 
x = [pyi<gz] + [pP <ge]- 
Das Bemerkenswerte an diesen Ergebnissen besteht darin, daß 
die Gitterpunkte innerhalb des Dreiecks OP’R’ nicht nur die Zahl %, 
sondern auch die Zahl A völlig bestimmen. 
Ist V die Mitte von P’'R’, so schneide die Gerade OV die Or- 
dinate GH in N. Ist h gerade, so liegen auf GN und NH je ih 
Punkte. Ist aber A ungerade, so liegen auf GN n (A-1) Punkte, auf 
NH aber th +1), also einer mehr. Folglich liegen im Dreieck OVR’ 
? Punkte mehr als im Dreieck OP’V, nämlich ae: ?) Punkte gegen 
= 
(2). 
ol 
$ 6. 
Die absolut kleinsten Reste. 
Von der Gleichung (1.), $ 5 sind wir zu der Gleichung (2.) über- 
gegangen, indem wir im Dividendus Y durch 2g ersetzt haben. Er- 
setzt man umgekehrt im Divisor p durch 2p, so erhalte man 
