Frogentvs: Über den Fermar’schen Satz. 111. 661 
oder falls p = 6n +1 ist, zu je dreien kongruent den beiden Wurzeln 
der Kongruenz 
(3.) Reale) 
die ich im folgenden stets mit 2 und 2°’ = 1-2 bezeichne. 
Ist nun zuerst k = 1, so ist 
ma): 
Setzt man also 
Eu(@) + mf(e) = Pı(e), 
so erhält man die in der Einleitung erwähnte Formel 
(4.) (v?—1) Qn(e)- (2-1) Pula) = mf(e), 
aus der sich 
(5.) GO (lt) = 0 
ergibt. Die Funktion z ((x) verschwindet also für mindestens zwei 
verschiedene Werte f. Da sie nur vom (m-2)ten Grade ist, so muß 
sie für n = 2 und 3 identisch verschwinden. (Mrrımanorr.) Demnach 
ist Q(l) = 0 oder nach (11.), $ 2 
(6.) za |, ya (mod p?). 
Nach (4.) ist daher 2f(x) = -(x”-1)P, (x) und mithin 
(7.) IN mal 1) 
Da ferner 
(8.) Da) Cr 222 (=). Kan () 
ist, so ist für ein gerades n auch f,_, (-1) = 0 (vgl. (5.), $ ı). Dem- 
nach genügt auch t= -1 den Kunmmerschen Kongruenzen und allen, 
die aus ihnen abgeleitet sind, und ist, außer in dem Falle (2.), von 
den andern bekannten Wurzeln verschieden. 
Anmerkung: Der Fall (2.) kann nur eintreten, wenn 
(9.) DE 1 (mod p*) 
ist. Wie Hr. Vannıver, American Transactions, vol.15, S. 202 gefunden 
hat, ergibt sich dies unmittelbar aus den Kongruenzen 
(10.) @ =a, bP=bdDb, e=c, a+b+c=0 (mod p®). 
