Frogenıus: Über den Fermar’schen Satz. III. 663 
für jeden Primfaktor r von w, oder v, oder v,, und mithin ist, da 
U,,d,,w, positiv sind, auch 
(17.) oz url (mod p?), 
demnach 
wur =] (modp?), @+br=a+b (mod p®). 
Kombiniert man diese Kongruenz mit den analogen für a,cundb,c, 
so erhält man die Formeln (10.). 
Für die Primfaktoren r von wvw scheint sich die Kongruenz (12.) 
nicht elementar beweisen zu lassen. Aus a+(b-+c) = 0 oder 
(18.) nz m zemel Da me (mod p®) 
folgt nur 
(19.) Ba ee (mod p?). 
Ich benutze diese Gelegenheit, auch für das Hauptergebnis des 
Hrn. Wenpr (Öreızes Journal Bd. 113, S. 346, VI) eine einfache Her- 
leitung mitzuteilen. Ist w durch r teilbar, so ist nach (14.) b = -a 
(mod r) und nach (15.) v = a’”' und w? = a’”'-aP”b-+--- + br”! 
= pa’”', also 
(20.) we = pvh (mod r). 
Ist die Primzahl r von der Form r = mp-+1, so ist demnach 
wi = p"ovi 
und folglich 
(21.) p"-=]1, m"r=] (mod r). 
Für den Beweis des Satzes von LEGENDRE und seine Verallgemeinerungen 
leisten die Kongruenzen (12.) und (21.) dasselbe. 
$4. 
== 2, DH 
Die Funktion @(?) bleibt ungeändert, wenn k durch k’ = %k (mod m) 
m 
ersetzt wird. Nach (10.), $ 2 und (8.),$ 3 ist Q(p) = Q(p”'). Dap"' 
zugleich mit > die mten Einheitswurzeln durchläuft, so folgt aus (12), $ 2 
(1.) Ela) = Che). 
1 
Ersetzt man in jener Formel zugleich x durch «”', so erhält man 
(2.) G(z) = a"G (}) 
Ist also @(1)=0, so ist auch @’(1)= 0. Ist m ungerade, so ist G(-1) 
=(), und ist für ein gerades m G@(-1)=0, so ist auch @'(-1)=0. 
