670 Gesammtsitzung vom 28. Mai 1914. 
Mit Hilfe dieser Ergebnisse kann man nun wieder für größere 
Werte von m, zunächst für m — 11 und 13 die Gültigkeit der Kon- 
gruenz (3.) für alle Werte von % nachweisen. Das Gelingen dieses 
alternierenden Verfahrens, das abwechselnd zu größeren Werten von 
m und % führt, beruht darauf, daß die Ausdrücke A|”) von m unab- 
hängig sind, und daß @( für ein gegebenes m nur 4 verschie- 
dene Funktionen darstellt. 
Leider macht das Auftreten des Faktors ?’—-i + lin M,, wenigstens 
für Primzahlen p = 6n +1 jeden weiteren Fortschritt unmöglich, ins- 
besondere die Behandlung des Falles m = 23. 
88. 
TE Na 
Die Formel (6.), $ 4, die unsere Entwicklungen wesentlich ge- 
fördert hat, läßt sich verallgemeinern. Sei m = 2qg-+1 eine Prim- 
zahl, g eine primitive Wurzel von m, und 
k=g* ,„, I1=9 (mod m) , 
EEE um en 5 ne el Wet ei... 
Dann bleiben Q',e,,x, ungeändert, wenn x (mod g) geändert wird 
(nicht nur (mod 29)). Soll x, für einen gegebenen Index A berechnet 
werden, so ist zu beachten, daß != g* zwischen 0 und m liegt, und 
nicht, wie in a,, (mod m) geändert werden darf. Dann ist 
(1.) Q(x) = > Er , RA = > Cara Tı, 
A A 
wo A irgendein vollständiges Restsystem (mod 9) durchläuft. Sei $ 
irgendeine Wurzel der Gleichung 
(2.) s1—]1. 
Dann ist 
> SE > a Fly dı = > SICH 
* x, 
Kıh 
da man in der zweiten Summe x durch <-% ersetzen kann. Daher ist 
(3.) >> 5"Q&)(e) — (> (2 >"). 
* »* 
Für $ = 1 ist dies die Formel (6.), $4. Ist g gerade, also m =4n-+]1, 
undaS2 ERSOBist: 
€) 00 =D eye) Eid), 
