Eınsrein: Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. 1033 
wobei 
os —), da (2) 
gesetzt ist. Dabei sta =1,2, =y,2,=2,5 =idi gesetzt. ‘ds ist 
das Differential der »Eigenzeit«, d. h. diese Größe gibt den Betrag an, 
um welchen die Angabe einer mit dem materiellen Punkt bewegten 
Uhr auf dem Wegelement (di, dy, dz) vorschreitet. Die Variation in (1) 
ist dabei so zu bilden, daß die Koordinaten x, in den Endpunkten der 
Integration unvariiert bleiben. 
Führt man nun eine beliebige Koordinatentransformation aus, so 
bleibt Gleichung (1) bestehen, während an Stelle von (2) die allgemeinere 
Form 
ds = ),9,, du, de, (2a) 
tritt. Die ıo Größen g,, sind dabei Funktionen von den x,, welche 
durch die angewandte Substitution bestimmt sind. Physikalisch be- 
stimmen die g,, das in bezug auf das neue Koordinatensystem vorhandene 
Gravitationsfeld, wie aus den Überlegungen des vorigen Paragraphen 
hervorgeht. (1)und (2a) bestimmen daher die Bewegung eines materiellen 
Punktes in einem Gravitationsfelde, das bei passender Wahl des Bezugs- 
systems verschwindet. Wir wollen aber verallgemeinernd annehmen, 
daß auch sonst die Bewegung des materiellen Punktes im Gravitations- 
felde stets nach diesen Gleichungen erfolge. 
Den Größen g,, kommt noch eine zweite Bedeutung zu. Wir können 
nämlich immer setzen 
de = Dos dr. dic, — — Dax; j (2b) 
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wobei die dA, allerdings keine vollständigen Differentiale sind. Diese 
Größen dX, können aber doch im Unendlichkleinen als Koordinaten 
verwendet werden. Es liegt deshalb die Annahme nahe, daß im 
Unendlichkleinen die ursprüngliche Relativitätstheorie gelte. Die dX, 
sind dann die mit Einheitsmaßstäben und einer passend gewählten 
Einheitsuhr unmittelbar zu messenden Koordinaten in einem unendlich 
kleinen Gebiete. Die Größe ds’ ist in diesem Sinne als der natürlich 
gemessene Abstand zweier Raum-Zeit-Punkte zu bezeichnen. Dagegen 
können die dw, nicht in gleicher Weise durch Messung mit starren 
Körpern und Uhren direkt gewonnen werden. Sie hängen vielmehr 
mit dem natürlich gemessenen Abstand ds zusammen in einer gemäß 
(2b) durch die Größen g,, bestimmten Weise. 
Nach dem Gesagten ist ds eine von der Wahl des Koordinaten- 
systems unabhängig definierbare Größe, d. h. ein Skalar. ds spielt in 
