1034 Gesammtsitzung v. 19. Nov. 1914. — Mitth. d. phys.-math. Cl. v. 29. Oct. 
der allgemeinen Relativitätstheorie dieselbe Rolle wie das Element der 
Weltlinie in der ursprünglichen Relativitätstheorie. 
Im folgenden sollen die wichtigsten Sätze des absoluten Diffe- 
rentialkalkuls abgeleitet werden, die in unserer Theorie an die Stelle 
der Sätze der gewöhnlichen Vektoren- und Tensorentheorie der drei- 
dimensionalen bzw. vierdimensionalen Vektorrechnung (die sich auf das 
euklidische Element ds bezieht) treten; mit Hilfe jener Sätze können 
die Gesetze der allgemeinen Relativitätstheorie, welche bekannten Ge- 
setzen der ursprünglichen Relativitätstheorie entsprechen, ohne Schwie- 
rigkeit abgeleitet werden. 
B. Aus der Theorie der Kovarianten. 
$ 3. Vierervektoren. 
Kovarianter Vierervektor. Vier Funktionen A, der Koordinaten, 
welche für jedes beliebige Koordinatensystem definiert sind, nennt man 
dann einen kovarianten Vierervektor oder einen kovarianten Tensor 
ersten Ranges, wenn für ein beliebig gewähltes Linienelement mit 
den Komponenten dir, die Summe 
D>Ad, — 9 (3) 
beliebigen Koordinatentransformationen gegenüber eine Invariante (Skalar) 
ist. Die Größen A, nennt man die »Komponenten« des Vierervektors. 
Das Transformationsgesetz für diese Komponenten folgt unmittel- 
bar aus dieser Definition. Beziehen sich nämlich die Zeichen A/, dx 
auf denselben Punkt des Kontinuums, aber auf ein beliebig gewähltes 
anderes Koordinatensystem, so ist 
>> Ad, = 2 A.dı, = > A; a } 
Da die Gleichung für beliebig gewählte dx, gelten soll, so folgt das 
gesuchte Transformationsgesetz: 
y da“ 
ae Dre (3a) 
Umgekehrt ist leicht zu zeigen, daß aus der Gültigkeit dieses Trans- 
formationsgesetzes folgt, daß A, ein kovarianter Vierervektor ist. 
Kontravarianter Vierervektor. Vier Funktionen A’ der Ko- 
ordinaten, welche für jedes beliebige Koordinatensystem definiert sind, 
nennt man dann einen kontravarianten Vierervektor oder einen 
kontravarianten Tensor ersten Ranges, wenn das Transformationsgesetz 
