1036 Gesammtsitzung v. 19. Nov. 1914. — Mitth. d. phys.-math. Cl. v. 29. Oct. 
Es ist klar, daß in analoger Weise auch kovariante Tensoren 
dritten und höheren Ranges definiert werden können. 
.  Symmetrischer kovarianter Tensor. Erfüllt ein kovarianter 
Tensor für ein Koordinatensystem die Bedingung, daß die Werte 
zweier seiner Komponenten, welche einer bloßen Vertauschung von 
Indizes einander entsprechen, einander gleich sind (A,, = 4;.), so gilt 
dies, wie ein Blick auf Gleichung (5a) zeigt, auch für jedes andere 
Koordinatensystem. Dann reduzieren sich beim kovarianten Tensor 
zweiten Ranges die 16 Transformationsgleichungen auf 10. In dem 
Falle, daß A,,—= A,, ist, genügt zum Beweise des Tensorcharakters von 
(A,,) der Nachweis, daß 
> A,ds.dz, =» (5e) 
ein Skalar sei. Es folgt dies aus der Identität 
’ 7 ‚ dw, 0x5 
> Ada. da, — > A.oda.daz = Asa ar, 7 PrZ 7 dx‘ dr, 
mit Rücksicht auf (5a). 
Symmetrische kovariante Tensoren höheren Ranges lassen sich ganz 
analog definieren. 
Kovarianter Fundamentaltensor. In der zu entwickelnden 
Theorie spielt die Größe 
—— D,9,,dx, dx, 9 
welche wir als Quadrat des Linienelementes bezeichnen wollen, eine 
besondere Rolle. Aus dem Vorigen geht hervor, daß g,, ein kovarianter 
(symmetrischer) Tensor zweiten Ranges ist. Wir wollen ihn als »ko- 
varianten Fundamentaltensor« bezeichnen. | 
Bemerkung. Wir hätten den kovarianten Tensor auch defi- 
nieren können als einen Inbegriff von 16 Größen A,,, die sich ebenso 
transformieren wie die 16 Produkte A,B, zweier kovarianter Vektoren 
(A,) und (B,). Setzt man 
A, — AB, ’ (6) 
so folgt aus (3a) sofort 
Ö) 0x, 0 
4.=AB=)2- En Er A B=% Fr Fr Äh 
aß L, 
woraus mit Rücksicht auf (5a) folgt, daß A,, ein kovarianter Tensor 
ist. Ganz Entsprechendes gilt für Tensoren höheren Ranges. Aller- 
dings ist nicht jeder kovariante Tensor in dieser Form darstellbar, da 
(A,) ı6 Komponenten besitzt, A, und B, zusammen nur 8 Kompo- 
