Einstein: Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. 1037 
nenten; es bestehen also zwischen den A,, auf Grund von (6) alge- 
braische Beziehungen, welche Tensorkomponenten im allgemeinen nicht 
erfüllen. Man gelangt jedoch zu einem beliebigen Tensor, indem 
man mehrere Tensoren vom Typus der Gleichung (6) addiert', indem 
man setzt 
A„= 4A, B+C,D,-+ :-: (6a) 
Analog verhält es sich bei kovarianten Tensoren höheren Ranges. Diese 
Darstellung von Tensoren aus Vierervektoren erweist sich für den Be- 
weis vieler Sätze als nützlich. Eine analoge Bemerkung gilt für ko- 
variante Tensoren höheren Ranges. 
Kontravariante Tensoren. Analog wie sich kovariante Ten- 
soren aus kovarianten Vierervektoren gemäß (6) bzw. (6a) bilden lassen, 
lassen sich auch kontravariante Tensoren aus kontravarianten Vierer- 
vektoren bilden gemäß den Gleichungen 
A” — AB: (7) 
bzw. 
A” = A"B’+C"D’+.--- (7a) 
Aus dieser Definition folgte sogleich nach (4) das 'Transformations- 
gesetz 
3 O8 00, 2 (8) 
Pilee Ir. d29 
Analog gestaltet sich die Definition von kontravarianten Tensoren hö- 
heren Ranges. Genau wie oben ist hier der Spezialfall des symme- 
trischen Tensors besonders zu beachten. 
Gemischte Tensoren. Es lassen sich auch Tensoren (zweiten 
und höheren) Ranges bilden, die bezüglich gewisser Indizes kovarian- 
ten, bezüglich anderer kontravarianten Charakter haben; man nennt 
sie gemischte Tensoren. Ein gemischter Tensor zweiten Ranges ist z.B. 
A = AB'+0.D. (9) 
Antisymmetrische Tensoren. Außer den symmetrischen 
kovarianten und kontravarianten Tensoren spielen die sogenannten anti- 
symmetrischen kovarianten und kontravarianten Tensoren eine wichtige 
Rolle. Sie sind dadurch ausgezeichnet, daß Komponenten, die durch 
Vertauschung zweier Indizes auseinander hervorgehen, entgegenge- 
setzt gleich sind. Wenn z. B. der kontravariante Tensor A“ die Bedin- 
gung A” = — A” erfüllt, so nennt man ihn einen antisymmetrischen 
ı Es ist klar, daß durch Addition entsprechender Komponenten eines Tensors 
wieder Komponenten eines Tensors entstehen, wie dies für den Tensor ersten Ranges 
(Vierervektor) gezeigt wurde (Addition und Subtraktion von Tensoren). 
