1038 Gesammtsitzung v. 19. Nov. 1914. — Mitth. d. phys.-math. Cl. v. 29. Oct. 
kontravarianten Tensor zweiten Ranges oder Sechservektor (weil er 12 
von Null verschiedene Komponenten hat, die zu je zweien den gleichen 
absoluten Betrag haben. Der kontravariante Tensor dritten Ranges A** 
ist antisymmetrisch, wenn die Bedingungen erfüllt sind 
Ar = — PFALZ = — FANEZ — ala? —_— Ar — PAR R 
Man erkennt, daß es (in einem Kontinuum von 4 Dimensionen) 
nur 4 numerisch von Null verschiedene Komponenten dieses antisym- 
metrischen Tensors gibt. 
Daß diese Definition eine von der Wahl des Bezugssystems unab- 
hängige Bedeutung besitzt, beweist man leicht aus Formel (5a) bzw. (8). 
So ist z.B. gemäß un 
0x, urn 
wir a 
Ersetzt man A,, durch — A;, (was gemäß der Voraussetzung ge- 
10 b C 
stattet ist) und vertauscht man hierauf in der Doppelsumme die Sum- 
mationsindizes ß und «, so hat man 
Im, A 
wo Asp = —A,, 
L, 
gemäß der Behauptung. a ist der Beweis für kontravariante 
Tensoren und für Tensoren dritten und vierten Ranges. Antisymme- 
trische Tensoren höheren als vierten Ranges kann es in einem vierdimen- 
sionalen Kontinuum nicht geben, weil alle Komponenten verschwinden, 
für welche zwei Indizes gleich sind. 
$5. Multiplikation der Tensoren. 
Äußeres Produkt von Tensoren. Wir haben gesehen (vgl. 
Gleichungen (6), (8) und (9)), daß man durch Multiplizieren der Kom- 
ponenten von Tensoren ersten Ranges die Komponenten von Tensoren 
höheren Ranges erhält. Analog können wir Tensoren höheren Ranges 
aus solchen niedrigeren Ranges durch Multiplizieren aller Komponenten 
des einen Tensors mit denen des anderen stets herleiten. Sind bei- 
spielsweise (A,;) und (B,,.) kovariante Tensoren, so ist auch (A,s* B,,.) 
ein kovarianter Tensor (fünften Ranges). Der Beweis ergibt sich so- 
fort aus der Darstellbarkeit der Tensoren durch Summe von Produkten 
von Vierervektoren: 
Asa = > A» Ay , 
B.. = I,B0 BO BO, 
also A, B, 
I 
mo 
3,40 Ag B0 BO BD; 
also ist (A,,B,,.) ein Tensor fünften Ranges. 
