Einsrem: Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. 1039 
Man nennt diese Operation »äußere Multiplikation«, das Resultat 
»äußeres Produkt« der Tensoren. Man sieht, daß es bei dieser Opera- 
tion auf Charakter und Rang der zu »multiplizierenden « Tensoren nicht 
ankommt. Es gilt ferner das kommutative und das assoziative Gesetz 
für eine Sukzession solcher Operationen. 
Inneres Produkt von Tensoren. Die in Formel (3b) angegebene, 
mit den Tensoren ersten Ranges A, und A’ vorgenommene Operation 
nennt man »innere Multiplikation«, das Resultat »inneres Produkt«. 
Diese Operation läßt sich infolge der Darstellbarkeit von Tensoren 
höheren Ranges aus Vierervektoren leicht auf Tensoren erweitern. 
Ist z.B. A,,,... ein kovarianter, A“® ein kontravarianter Tensor 
vom gleichen Range, so ist 
> (Aspy.. A) =» 
aßy 
ein Skalar. Der Beweis ergibt sich unmittelbar, wenn man setzt » 
nr KeDa BaC, | 
aly... =... B?C 
hierauf ausmultipliziert und (3b) berücksichtigt. 
Gemischtes Produkt von Tensoren. Die allgemeinste Multi- 
plikation von Tensoren erhält man, wenn man letztere nach gewissen 
Indizes äußerlich, nach andern innerlich multipliziert. Aus den Ten- 
soren A und B erhält man einen Tensor © gemäß folgendem Schema 
Sa er 
ady... a 
Der Beweis dafür, daß C ein Tensor ist, ergibt sich durch Kom- 
bination der beiden zuletzt angedeuteten Beweise. 
$ 6. Über einige den Fundamentaltensor der g, betreffende 
Beziehungen. 
Der kontravariante Fundamentaltensor. Bildet man in dem 
Determinanten-Schema der g,, zu jedem g,, die Unterdeterminante und 
dividiert diese durch die Determinante g = |g,,| der g,,. so erhält man 
gewisse Größen 9“ (= g"), von denen wir beweisen wollen, daß sie 
einen kontravarianten symmetrischen Tensor bilden. 
Aus dieser Definition und einem bekannten Determinantensatze 
folgt zunächst 
Dow, (10) 
