Einstein: Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. 1041 
stitutionen verbunden. Daraus folgt, daß das über ein Volumelement 
erstreckte Integral 
dr, = | AX,AX,aX,dX, 
eine Invariante, d.h. völlig unabhängig von jeder Koordinatenwahl ist. 
Wir wollen für diese Invariante einen zweiten Ausdruck suchen. 
Es bestehen nun jedenfalls Beziehungen von der Form 
DR. — >. u..de,, (13) 
woraus folgt 
dr, (14) 
a —i|e, 
wenn mit dr bzw. dr, das Integral 
[de ..de, bzw. [dX,dX,dX,aX, 
erstreckt über dasselbe Elementargebiet bedeutet. Nach (12) und (13) 
ist ferner 
De (15) 
und folglich nach dem Multiplikationssatz’der Determinanten 
— De) 
Mit Rücksicht hierauf erhält man aus (14) 
Veh = d,, (17) 
wobei der Kürze halber |9,|= 9 gesetzt ist. Damit haben wir die 
Jar we (16) 
sv 
— 8 
gesuchte Invariante gefunden. 
Bemerkung. Aus (12) geht hervor, daß die dX_ den in der 
ursprünglichen Relativitätstheorie üblichen Koordinaten entsprechen. 
Von diesen sind drei reell, eine (z. B. dX,) imaginär. dr, ist daher 
imaginär. Anderseits ist im Falle der ursprünglichen Relativitäts- 
theorie die Determinante g bei reeller Zeitkoordinate negativ, da die 
9, (bei passender Wahl der Zeiteinheit) die Werte 
—T [0} (0) 
See | 
(18) 
oO oO —I = 
oO oO oO I 
erhalten; Yy ist daher ebenfalls imaginär. Daß dies allgemein der 
Fall ist, wird in $ ı7 gezeigt. Um Imaginäre zu vermeiden, setzen wir 
