Emsrein: Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. 1043 
ist. Damit ist bewiesen, daß 
Gr = 77, ikIm (21a) 
ein kontravarianter antisymmetrischer Tensor ist. 
Endlich spielt in der Theorie der allgemeinen antisymmetrischen 
Tensoren ein aus dem Fundamentaltensor der g,, gebildeter gemischter 
Tensor eine wichtige Rolle, dessen Komponenten sind 
GE = I Vg dns g" ge" =D, ——dmne5 9.982 (22) 
«3 «ß Vg 
Der Tensor-Charakter dieser beiden Ausdrücke ist nach dem Vorigen 
und nach $ 4 evident. Zu beweisen ist nur, daß sie einander gleich 
sind. Den letzten derselben können wir gemäß (21) und (19) auch in 
der Form bringen 
IV. N I" I gg 
Aura 
woraus man durch Summation nach & und 8 mit Rücksicht auf (10) erhält 
Dad." ; 
Au 
letzterer Ausdruck unterscheidet sich von dem ersten der in (22) ge- 
gebenen Ausdrücke nur durch die Bezeichnung der Summationsindizes 
und durch die (belanglose) Reihenfolge der Indexpaare Au und ikin d,,;r. 
Aus (22) ist ersichtlich, daß der gemischte Tensor (G”*) sowohl 
der Indizes i, %, als auch bezüglich der Indizes im antisymmetrisch ist. 
Mit Hilfe des Fundamentaltensors können wir aus einem beliebigen 
Tensor in mannigfacher Weise Tensoren von anderem Charakter her- 
stellen nach den im $ 5 angegebenen Regeln. So können wir beispiels- 
weise aus dem kovarianten Tensor (7,,) den kontravarianten (7) her- 
stellen nach der Regel 
T“ — > nee, (23) 
«a 
während man umgekehrt hat: 
In > D gegen (23a) 
aß 2 
Die Gleichwertigkeit der Gleichungen (23) und (23a) ergibt sich leicht 
mit Hilfe von (10). Man nennt die Tensoren (7*”) und (7) » reziprok«. 
Ist einer von zwei reziproken Tensoren symmetrisch bzw. antisym- 
metrisch, so ist es, wie aus (23) bzw. (23a) hervorgeht, auch der andere. 
Dies gilt für Tensoren beliebigen Ranges. 
Sitzungsberichte 1914. 94 
