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Einstein: Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. 1053 
Rıemann-ÖHRISTOFFELScher Tensor. Die Formel (29) gestattet 
eine sehr einfache Ableitung des bekannten Kriteriums dafür, ob ein 
gegebenes Kontinuum mit gegebenem Linienelement ein euklidisches 
ist, d.h. ob man es durch eine passend gewählte Substitution erzielen 
kann, daß ds’ überall gleich der Quadratsumme der Koordinatendiffe- 
rentiale wird. 
Wir bilden aus dem kovarianten Vierervektor A, durch zweimalige 
Erweiterung gemäß (29) den Tensor dritten Ranges (A,,). Man erhält 
Be un\ 0A, , fur] OA. 
A rl 2 oz, + 4 ni 
= vA A, vA = A 
| da, E u 
Sa ar 
oz, LE % hi 
Es folgt hieraus sofort, daß auch (A,,— A,,) ein kovarianter Tensor 
dritten Ranges ist; es ist also 
aim EleateeDle 
ein kovarianter Tensor s dritten Ranges, die eckige Klammer also ein 
Tensor vierten Ranges (A7,,), welcher nach dem Indizes x, v, A kovariant, 
nach s kontravariant ist. Alle Komponenten dieses Tensors verschwinden, 
wenn die g,, Konstante sind. Dies Verschwinden findet immer statt, wenn 
es bezüglich eines passend gewählten Koordinatensystems stattfindet. Das 
Verschwinden der Klammer für alle Indexkombinationen ist also eine 
notwendige Bedingung dafür, daß sich das Linienelement auf die 
euklidische Form bringen läßt; daß diese Bedingung hierfür hinreicht, 
bedarf allerdings noch eines Beweises. 
V-Tensoren. Ein Blick auf die Formeln (37), (39), (40), (41), 
(41a) lehrt, daß Tensorkomponenten häufig mit Vy multipliziert auf- 
treten. - Wir wollen deshalb eine besondere Bezeichnung für die mit 
Vg (bzw. V—g, wenn g negativ ist) multiplizierten Tensorkomponenten 
einführen, indem wir die Produkte mit deutschen Buchstaben bezeichnen, 
z. B. setzen 
AV =. 
AVg = N. 
(A), (A2) usw., nennen wir V-Tensoren (Volumtensoren). Sie geben, 
da Vgdr = Vydk, dx,dx,dx, ein Skalar ist, mit dr multipliziert, Ten- 
