Einstein: Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. 1067 
$ ı2. Beweis von der Notwendigkeit einer Einschränkung 
der Koordinatenwahl. 
Wir betrachten einen endlichen Teil 3 des Kontinuums, in wel- 
chem ein materieller Vorgang nicht stattfindet. Das physikalische 
Geschehen in 3 ist dann vollständig bestimmt, wenn in bezug auf ein 
zur Beschreibung benutztes Koordinatensystem Ä die Größen g,, als 
Funktion der x, gegeben werden. Die Gesamtheit dieser Funktionen 
werde symbolisch durch G(z) bezeichnet. 
Es werde ein neues Koordinatensystem Ä’ eingeführt, welches 
außerhalb 3 mit Ä übereinstimme, innerhalb & aber von X abweiche, der- 
art, daß die auf X’ bezogenen g,, wie die g,, (nebst ihren Ableitungen) 
überall stetig sind. Die Gesamtheit der g,, bezeichnen wir symbolisch 
durch @'(«'). @’(x') und G(x) beschreiben das nämliche Gravitationsfeld. 
Ersetzen wir in den Funktionen g,, die Koordinaten x; durch die Ko- 
ordinaten x,, d. h. bilden wir @’(&), so beschreibt @’(x) ebenfalls ein 
Gravitationsfeld bezüglich X, welches aber nicht übereinstimmt mit dem 
tatsächlichen (bzw. ursprünglich gegebenen) Gravitationsfelde. 
Setzen wir nun voraus, daß die Differentialgleichungen des Gra- 
vitationsfeldes allgemein kovariant sind, so sind sie für @’(x’) erfüllt 
(bezüglich X’), wenn sie bezüglich X für @(x) erfüllt sind. Sie sind 
dann also auch bezüglich AÄ für @(x) erfüllt. Bezüglich Ä existierten 
dann die voneinander verschiedenen Lösungen @(&) und @(x), trotz- 
dem an den Gebietsgrenzen beide Lösungen übereinstimmten, d.h. 
durch allgemein kovariante Differentialgleichungen für das 
Gravitationsfeld kann das Geschehen in demselben.nicht ein- 
deutig festgelegt werden. 
Verlangen wir daher, daß der Ablauf des Geschehens im Gravita- 
tionsfelde dureh die aufzustellenden Gesetze vollständig bestimmt sei, 
so sind wir genötigt, die Wahl des Koordinatensystems derart ein- 
zuschränken, daß es ohne Verletzung der einschränkenden Bedingungen 
unmöglich ist, ein neues Koordinatensystem X’ von der vorhin cha- 
rakterisierten Art einzuführen. Die Fortsetzung des Koordinatensystems 
ins Innere eines Gebietes 3 hinein darf nicht willkürlich sein. 
$ı3. Kovarianz bezüglich linearer Transformationen. 
Angepaßte Koordinatensysteme. 
{o) . 
Nachdem wir gesehen haben, daß das Koordinatensystem Bedin- 
gungen zu unterwerfen ist, müssen wir einige Arten der Spezialisierung 
der Koordinatenwahl ins Auge fassen. Eine sehr weitgehende Speziali- 
sierung erhält man, wenn man nur lineare Transformationen zuläßt. 
Würden wir von den Gleichungen der Physik nur verlangen, daß sie 
