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Anzahl der Moduln einer Classe algebraischer 

 Flächen. 



Von M. NOETHER 



in Krlaiigeii. 



(Vorgelegt von Hrn. Fuchs. 



IVlan wei.ss seit Riemann, rlass eine Cla.sse algebraiseliov Cur von 

 (le.s Goschleclits p — d. h. die Gesammtheit aller aus einer solelieu 

 Curve (lureli rationale, eindeutig umkehrbare Substitutionen ableitbaren 

 Curven — von 3/> — 3 Parametern, den Moduln der Classe, abhängt. 

 Unter den verschiedenen algebraischen Definitionen und Bestimmungen 

 der Moduln, welche in der Arbeit von Hrn. Brill und mir »Über die 

 algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie«, 

 Mathem. Annalen VII. enthalten sind, sei insbesondere auf die durdi 

 Normalcurven verwiesen, auf" welche eine Curve der Classe mittels 

 einer linearen oo'-Schaar aus den zur Curve gehörigen invarianten »ad- 

 jungirten Ciuwen (/)« transforniirt werden kann. 



Ich habe nun versucht, die Frage für algebraische Flächen 

 auf analogem Wege zu behandeln und bin auch hier, ti'otz grösserer, 

 unten zu erwähnender Schwierigkeiten durch Transformation auf eine 

 Normalfläche der Classe zum Ziele gekommen. Sei eine Fläche/ 

 der Classe von der nten Ordnung, und mögen von den zu / adjungirten 

 (d. h. (bu'ch die Doppelcurve von / gehenden) Fläclien </>, von der 

 (11 — 4)ten Ordnung, p linear unabhängige existiren ; sei ferner die An- 

 zahl der beweglichen Schnittpunkte von / mit zweien solchen Flächen </> 

 mit y>2 bezeichnet: so lautet das Resultat: dass die (allgemeine) 

 Flächenclasse von io(p + i) — 2p.^ Parametern abhängt. 



I. 



Man darf zunächst annehmen , dass die Normalfläche F, auf welche 

 man transformiren will, keine höheren Singularitäten l>esitze , als eine 

 Doppelcurve, mit einer endlichen Zahl dreifacher Punkte, welche 

 auch dreifache Punkte der Fläche wei'den. 



