Noether: Anzahl der Moduln einer Classe algebraischer Flächen. 12Ö 



die von der Ordnung A^ = jo^ werden. Die Eigenschaft, welche die.se 

 Pläclien F voi" den übrigen Flächen der Ordnung |>, , die der Classe 

 angehören, auszeichnet und charakterisirt, besteht nun hier darin: 

 dass die ebenen Schnitte einer solchen Normalfläche F zu den- 

 jenigen beweglichen Curven vom Geschlecht jo, gehören, welche aus 

 F durch die zu F adjungirten Flächen $ , der Ordnung js, — 4 , aus- 

 geschnitten werden können. 



Die Doppelcurve D einer solchen Fläche F wird also von der 

 Ordnung 



-^ = 1(^2 — 1)(/>2- 2) -;?, = \pAP2-b)^ 



und sie möge T dreifache Punkte und den Rang R haben. Sie niuss 

 die weitere, sie, und auch die Normaltläche F, chai'akterisirende Eigen- 

 schaft haben: dass durch diese Curve D eine einzige zu F 

 adjungirte Fläche (;5, — 5)ter Ordnung geht. 



Denn zunächst muss eine solche Fläche durch D gehen, wenn 

 die ebenen Schnitte {Fi) die obige Eigenschaft erhalten sollen; aber 

 auch nur eine, da eine Fläche {p^ — 5)ter Ordnung die Fläche F ausser- 

 halb B nach der Ordnung von D niclit mehr schneiden kann. — Diese 

 Angaben werden zur Bestimmung der Constantenzahl der F genügen. 



ni. 



Für vmsere Normalfläche F wird nämlich zunächst': 



p = idh " I ) ip. - 2) (p, - 3) - (P3 - 3) ijf + jÄ + 2 r, 



P2= P, — I = pAp2 -aY " 5iP2 — 4)^+ 2Ä+ 9^- 



Ferner giebt es in der oo''~'-Schaar von Flächen $ noch oo^*''"-** ver- 

 schiedene lineare oo'-Schaaren; und in jeder solchen oo^-Schaar hat 

 man noch i 5 Parameter zu linearer Transformation. Somit kann man 

 aus einer Normalfläche F der Classe im Ganzen 00" weitere ableiten, wo 



CC = 4(^-4) + 13 ::^ 4P _ I. 



Es fragt sich jetzt, wie viele Flächen p^ter Ordnung, mit Doppelcurve 

 der Art D, überhaupt existiren. 



Die allgemeinen Formeln würden für die Curven Jfter Ordiuing 

 mit T dreifachen Punkten die Mannigfaltigkeit 00' liefern , avo 



ß =^ 4M- ^T; 



' Siehe des Verf. Aufsatz: Sülle curve multiple di su])erficie algebriche. Annali 

 di Matern., Ser. II, t. V; oder die vorstehend citirte Abhandlung. 



