418 Sitzunj; tlnr plivsikaliscli - iiiallinniatisclien Classe vom 5. April. 



Untcrsucliung-s- Methode auch bei jedem andern ganzzahligen Werthe 

 von 71 anwendbar sei, dass er sich aber, um der Abhandlung keine zu 

 grosse Ausdelmung zu geben, auf jene beiden Fälle bescliränken wolle. 

 Als ich nun beim Abdruck jener Habilitationsschrift in Le-tei-ne 

 Djrichlet's Werken zu eingehender Beschäftigung mit derselben ver- 

 anlasst wurde, machte ich den Versuch, das von Dikichlet behan- 

 delte Problem mit Hülfe von Modulsystemen auf rein arithmetischem 

 und ganz im absoluten Rationalitätsbereich der gewöhnlichen Zahlen 

 bleibendem Wege zu lösen. Dies gelang in überraschend einfacher 

 Weise, und dabei ganz vollständig, d. h. für jeden beliebigen Werth 

 der Zahlen b und ?i. Wenn nun auch jenes DmiciiLEx'sche arithmetische 

 Problem selbst jetzt als ein elementares zu betrachten ist, so wird 

 doch eine kurze Auseinandersetzung der neuen und ganz allgemeinen 

 Lö.sung hauptsächlich durch das Interesse, welches sich an jeden von 

 DiRicHLET behandelten Gegenstand knüpft, dann aber auch als ein 

 neuer Beleg für die Anwendbarkeit der Modulsysteme wohl gerecht- 

 fertigt erscheinen. 



I. Bedeutet n eine positive ganze Zahl und r eine unbestimmte 

 Variable, so hat z" — i so viel verschiedene ganze ganzzahlige Factoren 

 als n verschiedene Divisoren hat. Feiner dieser Factoren, welcher als 

 der »primitive« bezeichnet werden soll, ist dadurch vollständig cha- 

 rakterisirt, dass er nicht zugleich als Factor in irgend einem Aus- 

 dnicke z"" — i enthalten ist , hi welchem der Exponent //i kleiner 

 als n ist. 



Es sei nun. wie in meiner Mittheilung vom 29. Juli 1886,' 



£, = I , £,„ = (- 0". 



wenn die Zahl m lauter verschiedene Primzahlen enthält und v deren 

 Anzahl bedeutet, aber 



£,„ = o , 



wenn vi irgend eine Primzahl mehrfach enthäll. Ferner sei F,„(z) 

 der primitive Factor von ^"' — i. Alsdaim ist: 



(A) F„ {z) = n (c^ -if, z" - I = n F„{=) , 



d d 



wo die Multiplication über alle Divisoren d von ;/ zu erstrecken ist. 

 Setzt mau endlich: 



' Ziii- 'J'hooi'ic der <'llipliscliiMi KiinctioiuMi . Art. XI, §. i. Sit/.iin{jslii>rirlit vod 

 1S8G, S. 707. 



