Kronecker: Über die arithmetischen Sätze von Lejeune Dirichlet. 419 



WO X und y unbestimmte Variable bedeuten \xnüfj{x,y^) eine ganze 

 ganzzalilige Function von x und y- ist, so wird: 



{X — yY^"^ fA ^ j = nfi (X , y-)" (d alle Divisoren von «), 



da die über alle Divisoren d von n erstreckte Summe Xs,, gleich Null 

 ist, und es zeigt sich also, dass der Ausdruck auf der linken Seite 

 der Gleichung, der offenbar eine ganze ganzzahlige Function von x 

 und y ist, imr die graden Potenzen von y enthält. Bezeichnet man 

 denselben zur Abkürzung durch: 



G,Xx,y-), 

 so ist es die ganze ganzzahlige Function: 



deren Primtheiler q für beliebig angenommene positive oder negative 

 ganzzahlige Werthe von s zu bestimmen sind. 



Die Form G,^(x,s) ist offenbar, wie die Function F„{x), vom 

 Grade <p{n), wo (p{n) in üblicher Weise die Anzahl derjenigen unter 

 einander modulo n incongi-uenten Zahlen bedeutet, die zu n relativ 

 prim sind. 



n. Bilden /\ ,i\,... ein vollständiges System derjenigen luiter 

 einander modido n incongruenten Zahlen, die zu 7i relativ prim sind, 

 so findet die Congruenz: 



(B) n{x — ^ = F„ {x) (mod. F„ {z)) {r = r,,r,,.. .) 



statt. Um dies darzuthun, soll zuvörderst gezeigt werden, dass: 



F„{z') = o {mod. F„{c)) 

 ist. In der That ist gemäss den Gleichungen (A): 



Z"' — I = UFj{z^) ^ O (mod. F„ (z)) {d alle Divisoren von h), 



und keiner der Factoren F^{z''), bei welchem d <. 7i ist, hat einen 

 gemeinsamen Theiler mit F„{z). Derselbe Theiler müsste nämlich in 

 jeder der beiden Functionen: r'^''— i und z" —~ i, also auch in -'"'''+'"'— i 

 enthalten sein. Da man nun die Zahlen a , b so bestimmen kann, 

 dass ai-d+bn=:d wird, so müssten jP„(ir) und z''~i, also amah F^{z) 

 und F,(z) einen gemeinsamen Theiler haben, wo t einen Divisor von d 

 bedeutet. Zwei Functionen Fj{z), welche verschiedenen Divisoren d 

 entsprechen, können aber keinen gemeinsamen Theiler haben, da ihr 

 Product in z" — i als Theiler enthalten ist, und da z" — i mit der 

 Ableitung nz""^ keinen gemeinsamen Theiler hat. 



Aus der Congruenz: i^„(/')^ o (mod. F„ (c)) folgt: 



F„ {x) = {x- /") ^{x,z) (mod. F„ {z)) , 



