420 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 5. April. 



WO ^(x,2) eine ganze ganzzahlige Function von x und c ist. Da 

 ferner : 



F„{z'') = o , also (/= - s'') * {z"' , ^) = o (mod. F„ {z)) 

 ist, so inuss: 



4-(/=,c) = o (mod. F„(c)) 



und folglich ^{x,z) modulo F„{z) durch x — Z' theilbar sein. Denn 

 der Factor z'^ — z'^ hat mit F„(z) keinen gemeinsamen Theiler, (Ln ein 

 solcher Theiler sonst auch in z'' — i enthalten sein müsste , wenn d 

 den grössten in r, — r, enthaltenen Divisor von n bedeutet; und dass 

 jF„(s) und z'' — I keinen gemeinsamen Theiler haben, ist soeben dai'- 

 gethan worden. 



Es erweist sich also F„{x) als modido F^{z) durch das Product 

 {x — /i)(^~~ theilbar, und indem man so fortfährt, erschliesst man 

 offenbar die Richtigkeit der oben aufgestellten Congruenz (B). 



III. Auf Grund der Congruenz (B) ergielit sich für die zu unter- 

 suchende Function G„{x,s) ganz unmittelbar die Congruenz: 



(C) Cr„{x,s) = n{{x + y)-(x~y)z'){moM.y--s,FM) ('• = '•,. ^'••■)- 



luid die oben mit (/ bezeichneten Primtheiler der Form G,Xx,s) worden 

 also durch die Forderung bestimmt, dass ganzzahlige Werthe von x 

 existiren sollen, für welche die Congruenz: 



U.{x -\-y — (x — y)z'') ^^ o (modd. q,y--- s. F„(z)) (»• = '■,■ '\^---) 



erfüllt wird. Hierfür ist offenbar nothwendig und hinreichend, dass 

 die Congruenz: 



(D) nn{k+y-{k~-y)z') = o{moM.q,y--s, FJz)) (iz;';,:.;,-,) 

 l)estehe. Da nun: 



n (ii — hc) ^ w' — uv''^ ' (mod. q) (/■ i= o, i — ? — 



ist, so geht die Congruenz (D) in Folgende über: 



n(y"{z'-+ I y-^-y(z'-+i)(z'- - i)'-) = o<modd. q,f-~ s. F„{z)) ('-'-.■'V • • •) < 



und daraus resultirt, wemi man jeden Factor des Products auf der 

 linken Seite mit z'' — .i multiplicirt und die Congruenzen: 



{z' + i)''^z''^ + i (mod.^?) 



/-' = s'' =(—) (modd. (/,/- — s) ^^ 



benutzt, die Congruenz; n 



