Kronecker: Über die arithmetischen Sätze von Lejeune Dirichlet. 421 

 n((y"+" - i) (i - <r) + c^(y<'-" - i) (i + «3-)) = o (modd. q , ¥„{:)), 



in welcher zur Abkürzung- der Werth des LEGENDRE'sclien Zeichens 



mit ö" bezeichnet ist. Je naclidem u ^ -f- i oder (t = — i ist, 



muss daher die Congruenz: 



n (y<'/-" — i) = o oder n (,-'■''?+" - i) = o (modd. q , F„(~)) ('•='•..'•= ' ■ • •) 



stattfinden, d. h. es muss: 



(E) n (y <'-') - I ) = o (modd. q , F„ {z)) 



sein. 



Das Divisorensystem : 



{q,F„{z),z'-'^-^^- i) oder (q , F„{;) , z" - i , y''^-^' - i) , 



ist ofienbar aequivalent (q , F„(z) , c'' — i), wenn d den grössten in q — er 

 enthaltenen Divisor von n bedeutet, und es soll nun gezeigt werden, 

 dass dieses Divisorensystem aequivalent Eins ist, wenn d <. n ist. Als- 

 dann besteht nämlich die Congruenz: 



^^o(mod.F„(c)), 



da c" — I durch F„ {z) theilbar ist und F„ {z) , wie oben bewiesen 

 worden, mit z'' — i keinen Factor gemein hat. In jenem Divisoren- 

 systeme kann also das Element "^ hinzugefügt werden, und da: 



(mod. c''— i) 



zf-i~ d 

 "d 



ist, auch das Element — . Das Divisorensystem wird hiernach: 



(,,;i,F.(.-), .-'»-..-,). 



und dies ist in der That aequivalent Eins , wenn — wie jetzt vor- 

 ausgesetzt werden soll — die Primzahl q nicht in ?i enthalten ist. 



Da nun vermöge der Congruenz (E) das üljer alle Werth e von r 

 erstreckte Product der Divisorensysteme : 



das Modulsystem (q,F„{z)) enthalten soll, so können diese Divisoren- 

 systeme nicht sämmtlich aequivalent Eins sein, und es muss also der 



