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Zur Theorie der allgemeinen complexen Zahlen 

 und der Modulsysteme. 



Von L. Kronecker, 



J_/ie Frage der Einführung allgemeiner complexer Grössen oder Zalilen, 

 ist von Hankel im §. 29 seiner 1867 erschienenen «Theorie der 

 complexen Zahlensysteme« kurz erörtert worden; sie ist eingehender 

 von Hrn. Weieestrass in einer aus dem Juni 1883 datirten, an 

 Hrn. H. A. Schwarz gerichteten, in den Göttinger Nachrichten am 

 12. November 1884 veröffentlichten Mittheilung und im Anschluss 

 daran von Hrn. Dedekind in zwei ebendaselbst im März 1885 und 

 Februar 1887 abgedruckten Autsätzen behandelt worden, und neuer- 

 dings ist dieselbe Frage von Hrn. Julius Petersen in einer in Nr. i 7 der 

 Göttinger Nachrichten vom Jahre 1887 erschienenen Abhandlung wieder 

 aufgenommen worden. Dies giebt mir Veranlassung darzulegen, dass 

 für das Problem der Auffindung der allgemeinsten, unter Bewahrung 

 der algebraischen Rechnungsregeln zulässigen, complexen Zahlen, 

 welches in den erwähnten Publicationen der HH. Weierstrass, 

 Dedekind und Petersen nur unter beschränkenden Voraussetzungen 

 behandelt worden ist, die vollständige und zugleich ganz einfache 

 Lösung fast unmittelbar aus der Entwickelung des Begriffs der Modul- 

 systeme «ter Stufe von ?z Variabein resultirt, welche im §.20 meiner 

 im Anfange des Jahres 1882 erschienenen Festschrift zu Hrn. Kummer's 

 Doctorjubiläum enthalten ist. 



Es bedarf nämlich zur Bildung allgemeiner complexer Zahlen 

 a„ + ö, ii + 0-24 + ... + fl„ i, , welche gleich den Zahlen a^ + «1 i den 

 gewöhnlichen Rechnungsregeln unterworfen sein sollen, offenbar nur 

 der Einführung solcher Rechnungssymbole /, , i^, . . . i,, für welche 

 jedes Product sich eindeutig als lineare Function derselben mit reellen 

 oder auch, im gewöhnlichen Sinne des Wortes, complexen Coef- 

 ficientcn darstellen lässt. Da nun die lineare Dar.stellung jedes Pi"o- 

 ducts der Symbole «, , L, . . . {, aus derjenigen der ^v{v + 1) Producte: 



?'/,/\. (h<k: h,k— 1,2, .. .v) 



hervorgeht, so brauchen nur Coefficienten : 



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