Kronecker: Complexe Zahlen und Modulsysteme. 431 



in der kleinsten hinreichenden Anzald, bestimmen, durch welche 

 alle ganzen Functionen derselben n Variahein x ganz, linear und 

 homogen dargestellt werden können. Eine Reihe derartiger Func- 

 tionen fo,fi, ■ • • /,., von denen eine, z. B. /,, offenbar gleich i an- 

 genommen werden kann, bildet ein System, welches im Anschluss 

 an die im §. 8 der citirten Festschrift aufgestellten Definitionen als 

 «Fundamentalsystem für das Divisorensystem (J/', ilf", J/'", . . .)« zu 

 bezeichnen ist, während die Zahl v + i, d. h. die noth wendige Anzahl 

 der Elemente des Fundamentalsystems, die »Ordnungszahl« des Divi- 

 sorensystems darstellt. 



Da hiernach für jede beliebige ganze Function /(a*, , x^, . . . x„) 

 eine Congruenz: 



/eee c^ + cJ, + ... + c/. (modd. 31', M", M'", . . .) 



besteht, in welcher die Coefficienten c völlig bestimmte von den 

 Variabein x unabhängige Grössen sind, so findet dasselbe statt, wenn 

 man für / irgend eine ganze Function der v Functionen /', ,/,,.../, 

 nimmt. Demgemäss ist für ii'gend eine solche ganze Function F: 



(A) F{f„f._,...l)~C,+ CJ,+CJ._+... + CX{moM.3r,M",M",...), 



wo die Coefficienten C völlig bestimmte Grössen sind, und es ist 

 also auch speciell für das Product von je zwei Functionen /: 



(B) f,J, = r^*' + cf •*'/. + 4*' V2 + • • • + cf •*'/ (modd. M', M", M'", . . .). 



(h-£k\ h,k=i,2,...v) 



Bezeichnet man mm die verschiedenen ^v(v + i) Functionen der 



V Variabein y, , 2/2 , • . • y,. : 



y/,y, - 4''*' - 4'''V. - ^'''V^ - • • ■ - 4'''V.. , 



in irgend welcher Reihenfolge , mit N', N" , N"', . . . , so muss in Folge 

 der Congruenz (A) auch die Congi-uenz: 



(C) F{y, , y„ . . . y.) = Q + C.y, + a^, + . . . + Q.y., (modd. N', N" , N'", . . .) 



bestehen. Denn es ist zuvörderst klar, dass sich F[y^,y^, . . .y) für 

 das Modulsystem (N' , N" , N'", . . .) auf eine ganze lineare Function der 

 Variabein y reduciren lässt, dass also eine Congruenz: 



(C) F(y„y._,...y:} = C:+C:y, + C^y, + ... + C:y,.(r^oM.N',N",N"',...) 



stattfinden muss. Wird nun hierin: 



y,=/. ,y2=f2,- ■ -y. =/. 



gesetzt, so geht das Modulsystem (N' , N", N'", . . .) in das aus den 



Y c (v + I ) Elementen : 



fj, - 4'"'-'- 4''V> - ... - 4''**/ (Ä<i-;A,^=i,. ,....) 



