Kronecker: Complexe Zahlen und Modulsysteme. 433 



IL Das Ergebniss der vorstehenden Entwickelungen kann folgender- 

 maassen forniulirt werden: 



Sind i,/, »/j, . • •/, die Elemente eines Fundamentalsystems 

 für irgend ein beliebiges Divisorensystem (31', M", M'", . . .), 

 dessen Stufenzahl der Anzahl der Variabein gleich ist, 

 und sind: 



^iA,k) ^ ^(h,k) ^ ^i^,lc) ^_ ^(l,k) (h^k-h,k=X,2,...v) 



die Coefficienten , welche in den für die Producte /^/^ statt- 

 findenden Congruenzen : 



/,/, = c<f •*■> + c^'% + 4*' V. + • • • + cf -U (modd. M', M", M'", . . .) 

 auftreten, so ist das aus den Elementen: 



y,yk - cf-'^ - cf-'hj, - cn. - • • • - ^i''*V» 



bestehende Divisorensystem der Variabein y vom Range v, 

 also ebenfalls von einem der Variabeinzahl gleichen Range, 

 und die Grössen: 



bilden daher ein Fundamentalsystem. 

 Jedes beliebige Modulsystem eines der Variabeinzahl gleichen Ranges 

 liefert also ganz unmittelbar eine Lösung der obigen Aufgabe, und 

 seine Ordnungszahl v + i ist es, welche die Anzahl der in der Auf- 

 gabe vorkommenden Variabein y bestimmt. Dass sich auf diese Weise 

 alle Lösungen der Aufgabe ergeben, ist evident. Denn die in der 

 Aufgabe geforderten Modulsysteme sind selbst von der (relativ)' höchsten 

 Stufe V mid von der Ordnung v + i. 



Man findet daher auf die angegebene Weise sämmtliche Systeme 

 von Coefficienten: 



O^'^'*', r',*'**, ff •*',... cl*'*> {h<}c; h,k=i,2,...v), 



welche in den zur Bildung allgemeiner complexer Zahlen : 



«o + «r*! + Czh + ■■ ■ + ax 

 geeigneten Relationen : 



44 = fj,'''*) 4- of "'■)4 + cf ■*'4 4- • . • + 4*'*'i {h<k;h,k=j,2,...,) 



angewendet werden können. 



in. Der Nachweis dafür, dass das Divisorensystem {N', N", N'", . . .), 

 dessen ^ v (v + i ) Elemente durch den Ausdruck : 



' Der Ausdruck »i-elativ wird im Art. V näher erörtert. 



