Kronecker: Complexe Zahlen iincl Moditls^-steme. 437 



anderen folgen; aber die Gleichungen $'=o, $" = o, *"':=o,... müssen 

 so lieschaffen sein, dass jede andere zwiselien den Elementen $R be- 

 stehende ganzzahlige Gleichung $ = o aus den aufgestellten Gleichungen 

 hervorgeht, d. h. dass alsdann * sich als ganze lineare homogene 

 Function von $', $", $"', . . . mit Coefficienten , welche selbst ganz- 

 zahlige Functionen der Elemente SR sind, darstellen lässt, oder, was 

 dasselbe ist, dass die Congruenz: 



* ^ o (modd. $', *", *'", . . .) 



stattfindet, wenn in 4», *', $", *'", . . . an Stelle von W, SR", W, . . . 

 lauter unabhängige Variable gesetzt werden. 



V. Um die sich hieraus ergebenden Betrachtungen genauer 

 zu entwickeln, knüpfe ich an das mit (M', M", M'", . . .) bezeich- 

 nete Divisorensystem im art. I an. Bedeuten nämlich, wie dort, 

 M', M", M'", . . . ganze' Functionen von a;, , x, , . . . x„ , und werden aber 

 die Coefficienten der verschiedenen Producte von Potenzen der Varia- 

 bein X jetzt dahin beschränkt, dass dieselben dem Kationalitätsbereich 

 (5R' , JR", 31", . . .) angehören sollen, so kann man bei Behandlung der 

 Divisorensysteme [31' , M", M'", . . .) die mit einander durch die alge- 

 braischen Relationen 4>'^ o , $"= o , 4>"= o , . . . verbundenen Grössen 

 $R', JR", 9t'",... ersichtlich durch lauter unabhängige Variable z,.z^.z^,... 

 ersetzen, sobald man nur im Divisorensystem {M', M", M'", . . .) die 

 Functionen : 



$'(C, , ^2 , 2^3 , . . .) , *"{C, ,Z^,Z^,...), $"'(C-, ,Z^,Z^,...), ... 



als Elemente hinzugefügt. 



Verfährt man in der angegebenen Weise, so gelangt man wieder 

 auf den ebenen, sichern Boden der im §. 21 meiner Festschrift 

 definirten Divisorensysteme, deren Elemente ganze Grössen eines 

 bestimmten Rationalitätsbereichs sind; und der Rationalitätsbereich 

 ist hier ein natürlicher, nämlich der Bereich der unbestimmten 

 Variabein [x, , x.,, ... x„ ; z, , z^, z^, . . .) , da M', M", M'", . . . ganze 

 Functionen von x^ , x,, . . . x„ sind , in deren Coefficienten die Grössen 

 SR durch die Variabein z^, z^, z^, ... ersetzt worden sind , während 

 *',*",*"',... nur die Variabein z enthalten. 



Demgemäss führt die Praecisirung der bei der Bildung allgemeiner 

 complexer Zahlen zulässigen Coefficienten c als algebraische Grössen 

 eines bestimmten Rationalitätsbereichs auch dazu, den gesammten 

 Inhalt der vorhergehenden Entvfickelungen selbst näher zu praecish-en. 

 Denn, versteht man nmimehr unter G , M', M" , M'", . . . ganze Grössen 

 des natürlichen Rationalitätsbereichs {x^jX^, . . . x^; z^, z^, z^, . . .) und 



